📚 Διαφορικός Λογισμός — Κανόνες Παραγώγισης
Μαθηματικά Προσανατολισμού • Γ' Λυκείου
Ερώτηση 1
Πότε μια συνάρτηση $f$ λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της;
Μια συνάρτηση $f$ λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν υπάρχει το
$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$
και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της $f$ στο $x_0$ και συμβολίζεται με $f'(x_0)$. Δηλαδή:
$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$
Σχόλια:
α) Αν θέσουμε $h = x - x_0$, τότε έχουμε: $$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$
β) Αν το $x_0$ είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της $f$, τότε η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$, αν και μόνο αν υπάρχουν τα πλευρικά όρια και είναι ίσα: $$\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$
α) Αν θέσουμε $h = x - x_0$, τότε έχουμε: $$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$
β) Αν το $x_0$ είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της $f$, τότε η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$, αν και μόνο αν υπάρχουν τα πλευρικά όρια και είναι ίσα: $$\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$
Ερώτηση 2
Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο της $A(x_0, f(x_0))$;
Ορισμός εφαπτομένης:
Έστω $f$ μια συνάρτηση και $A(x_0, f(x_0))$ ένα σημείο της $C_f$. Αν υπάρχει το $f'(x_0)$ και είναι ένας πραγματικός αριθμός $\lambda$, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο της $A$, την ευθεία $\epsilon$ που διέρχεται από το $A$ και έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda$.
Έστω $f$ μια συνάρτηση και $A(x_0, f(x_0))$ ένα σημείο της $C_f$. Αν υπάρχει το $f'(x_0)$ και είναι ένας πραγματικός αριθμός $\lambda$, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο της $A$, την ευθεία $\epsilon$ που διέρχεται από το $A$ και έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda$.
Η εξίσωση της εφαπτομένης ($\epsilon$) της $C_f$ στο σημείο $A(x_0, f(x_0))$ είναι:
$$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$
Σχόλια:
α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης $\epsilon$ μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης $f$, στο σημείο $x_0$ είναι η παράγωγος της $f$ στο $x_0$.
β) Την κλίση $f'(x_0)$ της εφαπτομένης $\epsilon$ στο $x_0$ θα τη λέμε και κλίση της $C_f$ στο $A$ ή κλίση της $f$ στο $x_0$.
γ) Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή $t_0$, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης $S(t)$ τη χρονική στιγμή $t_0$. Δηλαδή: $$υ(t_0) = S'(t_0)$$
α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης $\epsilon$ μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης $f$, στο σημείο $x_0$ είναι η παράγωγος της $f$ στο $x_0$.
β) Την κλίση $f'(x_0)$ της εφαπτομένης $\epsilon$ στο $x_0$ θα τη λέμε και κλίση της $C_f$ στο $A$ ή κλίση της $f$ στο $x_0$.
γ) Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή $t_0$, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης $S(t)$ τη χρονική στιγμή $t_0$. Δηλαδή: $$υ(t_0) = S'(t_0)$$
Ερώτηση 3
Να διατυπώσετε το θεώρημα που αφορά τη σχέση παραγωγισιμότητας και συνέχειας.
Θεώρημα: Αν μια συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο $x_0$, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
Απόδειξη:
Για $x \neq x_0$ έχουμε: $$f(x) - f(x_0) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x - x_0)$$ Οπότε: $$\lim_{x \to x_0} [f(x) - f(x_0)] = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot \lim_{x \to x_0} (x - x_0) = f'(x_0) \cdot 0 = 0$$ Επομένως, $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, δηλαδή η $f$ είναι συνεχής στο $x_0$.
Για $x \neq x_0$ έχουμε: $$f(x) - f(x_0) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x - x_0)$$ Οπότε: $$\lim_{x \to x_0} [f(x) - f(x_0)] = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot \lim_{x \to x_0} (x - x_0) = f'(x_0) \cdot 0 = 0$$ Επομένως, $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, δηλαδή η $f$ είναι συνεχής στο $x_0$.
Σχόλια:
α) Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει:
Η $f(x) = |x|$ είναι συνεχής στο $x_0 = 0$, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ' αυτό, αφού: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1 \quad \text{ενώ} \quad \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1$$
α) Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει:
Η $f(x) = |x|$ είναι συνεχής στο $x_0 = 0$, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ' αυτό, αφού: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1 \quad \text{ενώ} \quad \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1$$
Η $f(x)=|x|$ είναι συνεχής στο $0$, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη, γιατί τα πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής είναι διαφορετικά.
β) Ισχύει όμως ότι: Αν μια συνάρτηση $f$ δεν είναι συνεχής σ' ένα σημείο $x_0$, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$.
Ερώτηση 4
Πότε μια συνάρτηση $f$ λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σύνολο Α, σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) ή σε ένα κλειστό διάστημα [α,β];
Έστω $f$ μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο $Α$. Θα λέμε ότι:
α) Παραγωγίσιμη στο σύνολο Α:
Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $Α$ ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο $x_0 \in Α$.
Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $Α$ ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο $x_0 \in Α$.
β) Παραγωγίσιμη σε ανοικτό διάστημα $(α, β)$:
Η $f$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα $(α, β)$ του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο $x_0 \in (α, β)$.
Η $f$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα $(α, β)$ του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο $x_0 \in (α, β)$.
γ) Παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα $[α, β]$:
Η $f$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα $[α, β]$ του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο $(α, β)$ και επιπλέον ισχύει: $$\lim_{x \to α^+} \frac{f(x) - f(α)}{x - α} \quad \text{και} \quad \lim_{x \to β^-} \frac{f(x) - f(β)}{x - β}$$
Η $f$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα $[α, β]$ του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο $(α, β)$ και επιπλέον ισχύει: $$\lim_{x \to α^+} \frac{f(x) - f(α)}{x - α} \quad \text{και} \quad \lim_{x \to β^-} \frac{f(x) - f(β)}{x - β}$$
Ερώτηση 5
Τι ονομάζουμε πρώτη, δεύτερη και γενικά νιοστή παράγωγο μίας συνάρτησης $f$;
Ορισμός παραγώγων:
Έστω $f$ μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού $Α$ και $Α_1$ το σύνολο των σημείων του $Α$ στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε $x \in Α_1$ στο $f'(x)$, ορίζουμε τη συνάρτηση: $$f': Α_1 \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto f'(x)$$ η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της $f$ ή απλά παράγωγος της $f$.
Έστω $f$ μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού $Α$ και $Α_1$ το σύνολο των σημείων του $Α$ στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε $x \in Α_1$ στο $f'(x)$, ορίζουμε τη συνάρτηση: $$f': Α_1 \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto f'(x)$$ η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της $f$ ή απλά παράγωγος της $f$.
Δεύτερη παράγωγος:
Αν υποθέσουμε ότι το $Α_1$ είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, τότε η παράγωγος της $f'(x)$, αν υπάρχει, λέγεται δεύτερη παράγωγος της $f$ και συμβολίζεται με $f''(x)$.
Αν υποθέσουμε ότι το $Α_1$ είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, τότε η παράγωγος της $f'(x)$, αν υπάρχει, λέγεται δεύτερη παράγωγος της $f$ και συμβολίζεται με $f''(x)$.
Νιοστή παράγωγος:
Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της $f$, με $f^{(ν)}(x) = (f^{(ν-1)})'(x)$, και συμβολίζεται με $f^{(ν)}(x)$. Δηλαδή: $$f^{(ν)}(x) = \frac{d^ν f}{dx^ν}, \quad ν \in \mathbb{N}$$
Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της $f$, με $f^{(ν)}(x) = (f^{(ν-1)})'(x)$, και συμβολίζεται με $f^{(ν)}(x)$. Δηλαδή: $$f^{(ν)}(x) = \frac{d^ν f}{dx^ν}, \quad ν \in \mathbb{N}$$
Σχόλιο: Η εύρεση της παραγώγου συνάρτησης, με βάση τον ορισμό που δώσαμε, δεν είναι πάντα εύκολη. Στη συνέχεια θα δούμε μερικές βασικές περιπτώσεις παραγώγισης συναρτήσεων, που θα τις χρησιμοποιούμε στην εύρεση παραγώγου συναρτήσεων (αντί να χρησιμοποιούμε τον ορισμό κάθε φορά).
Ερώτηση 6
Να αποδείξετε τους τύπους παραγώγισης βασικών συναρτήσεων.
α) Σταθερή συνάρτηση:
Αν $f(x) = c$, με $c \in \mathbb{R}$, τότε $f'(x) = 0$.
Αν $f(x) = c$, τότε για $x \neq x_0$ ισχύει: $$\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{c - c}{x - x_0} = 0$$ Επομένως, $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = 0$, δηλαδή $f'(x_0) = 0$.
Αν $f(x) = c$, με $c \in \mathbb{R}$, τότε $f'(x) = 0$.
$$(c)' = 0$$
Απόδειξη:Αν $f(x) = c$, τότε για $x \neq x_0$ ισχύει: $$\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{c - c}{x - x_0} = 0$$ Επομένως, $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = 0$, δηλαδή $f'(x_0) = 0$.
β) Ταυτοτική συνάρτηση:
Αν $f(x) = x$, τότε $f'(x) = 1$.
Αν $f(x) = x$, τότε για $x \neq x_0$ ισχύει: $$\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{x - x_0}{x - x_0} = 1$$ Επομένως, $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = 1$, δηλαδή $f'(x_0) = 1$.
Αν $f(x) = x$, τότε $f'(x) = 1$.
$$(x)' = 1$$
Απόδειξη:Αν $f(x) = x$, τότε για $x \neq x_0$ ισχύει: $$\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{x - x_0}{x - x_0} = 1$$ Επομένως, $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = 1$, δηλαδή $f'(x_0) = 1$.
γ) Δύναμη (θετικός ακέραιος):
Αν $f(x) = x^ν$, με $ν \in \mathbb{N}^*$, τότε $f'(x) = νx^{ν-1}$.
Αν $f(x) = x^ν$, τότε για $x \neq x_0$ ισχύει: $$ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{x^ν - x_0^ν}{x - x_0} = \frac{(x - x_0)(x^{ν-1} + x^{ν-2}x_0 + \cdots + x_0^{ν-1})}{x - x_0} = x^{ν-1} + x^{ν-2}x_0 + \cdots + x_0^{ν-1} $$ Επομένως: $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} (x^{ν-1} + x^{ν-2}x_0 + \cdots + x_0^{ν-1}) = x_0^{ν-1} + x_0^{ν-1} + \cdots + x_0^{ν-1} = νx_0^{ν-1} $$ δηλαδή $f'(x_0) = νx_0^{ν-1}$.
Αν $f(x) = x^ν$, με $ν \in \mathbb{N}^*$, τότε $f'(x) = νx^{ν-1}$.
$$(x^ν)' = νx^{ν-1}, \quad ν \in \mathbb{N}^*$$
Απόδειξη:Αν $f(x) = x^ν$, τότε για $x \neq x_0$ ισχύει: $$ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{x^ν - x_0^ν}{x - x_0} = \frac{(x - x_0)(x^{ν-1} + x^{ν-2}x_0 + \cdots + x_0^{ν-1})}{x - x_0} = x^{ν-1} + x^{ν-2}x_0 + \cdots + x_0^{ν-1} $$ Επομένως: $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} (x^{ν-1} + x^{ν-2}x_0 + \cdots + x_0^{ν-1}) = x_0^{ν-1} + x_0^{ν-1} + \cdots + x_0^{ν-1} = νx_0^{ν-1} $$ δηλαδή $f'(x_0) = νx_0^{ν-1}$.
δ) Τετραγωνική ρίζα:
Αν $f(x) = \sqrt{x}$, τότε $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, για $x > 0$.
Αν $f(x) = \sqrt{x}$, τότε για $x > 0$, $x_0 > 0$, $x \neq x_0$: $$ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x_0}}{x - x_0} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x_0})(\sqrt{x} + \sqrt{x_0})}{(x - x_0)(\sqrt{x} + \sqrt{x_0})} = \frac{x - x_0}{(x - x_0)(\sqrt{x} + \sqrt{x_0})} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x_0}} $$ Επομένως: $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x_0}} = \frac{1}{2\sqrt{x_0}} $$ δηλαδή $f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{x_0}}$.
Σημείωση: Η $f(x) = \sqrt{x}$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο $0$.
Αν $f(x) = \sqrt{x}$, τότε $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, για $x > 0$.
$$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad x > 0$$
Απόδειξη:Αν $f(x) = \sqrt{x}$, τότε για $x > 0$, $x_0 > 0$, $x \neq x_0$: $$ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x_0}}{x - x_0} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x_0})(\sqrt{x} + \sqrt{x_0})}{(x - x_0)(\sqrt{x} + \sqrt{x_0})} = \frac{x - x_0}{(x - x_0)(\sqrt{x} + \sqrt{x_0})} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x_0}} $$ Επομένως: $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x_0}} = \frac{1}{2\sqrt{x_0}} $$ δηλαδή $f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{x_0}}$.
Σημείωση: Η $f(x) = \sqrt{x}$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο $0$.
✱ Παράγωγοι εκθετικής, λογαριθμικής και τριγωνομετρικών συναρτήσεων
1. Εκθετική συνάρτηση:
Η συνάρτηση $f(x) = e^x$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και ισχύει:
Η συνάρτηση $f(x) = \ln x$, $x > 0$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ και ισχύει:
• Η συνάρτηση $f(x) = \eta\mu x$, $x \in \mathbb{R}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και:
1. Εκθετική συνάρτηση:
Η συνάρτηση $f(x) = e^x$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και ισχύει:
$$(e^x)' = e^x$$
2. Λογαριθμική συνάρτηση:Η συνάρτηση $f(x) = \ln x$, $x > 0$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ και ισχύει:
$$(\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad x > 0$$
3. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις:• Η συνάρτηση $f(x) = \eta\mu x$, $x \in \mathbb{R}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και:
$$(\eta\mu x)' = \sigma\upsilon\nu x$$
• Η συνάρτηση $f(x) = \sigma\upsilon\nu x$, $x \in \mathbb{R}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και:
$$(\sigma\upsilon\nu x)' = -\eta\mu x$$
• Η συνάρτηση $f(x) = \varepsilon\varphi x = \frac{\eta\mu x}{\sigma\upsilon\nu x}$, $x \neq \frac{\pi}{2} + \kappa\pi$, είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της και:
$$(\varepsilon\varphi x)' = \frac{1}{\sigma\upsilon\nu^2 x} = 1 + \varepsilon\varphi^2 x$$
Ερώτηση 7
Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα για την παράγωγο αθροίσματος.
Θεώρημα (Παράγωγος αθροίσματος):
Αν οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0$, τότε η συνάρτηση $f + g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και ισχύει: $$(f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)$$
Αν οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0$, τότε η συνάρτηση $f + g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και ισχύει: $$(f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)$$
Απόδειξη:
Για $x \neq x_0$, ισχύει: $$\frac{(f+g)(x) - (f+g)(x_0)}{x - x_0} = \frac{f(x) + g(x) - f(x_0) - g(x_0)}{x - x_0} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} + \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}$$ Επειδή οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0$, έχουμε: $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0) \quad \text{και} \quad \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = g'(x_0)$$ Επομένως: $$\lim_{x \to x_0} \frac{(f+g)(x) - (f+g)(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0) + g'(x_0)$$ δηλαδή $(f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)$.
Για $x \neq x_0$, ισχύει: $$\frac{(f+g)(x) - (f+g)(x_0)}{x - x_0} = \frac{f(x) + g(x) - f(x_0) - g(x_0)}{x - x_0} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} + \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}$$ Επειδή οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0$, έχουμε: $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0) \quad \text{και} \quad \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = g'(x_0)$$ Επομένως: $$\lim_{x \to x_0} \frac{(f+g)(x) - (f+g)(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0) + g'(x_0)$$ δηλαδή $(f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)$.
Σημείωση:
Αν οι συναρτήσεις $f$, $g$ είναι παραγωγίσιμες σ' ένα διάστημα $Δ$, τότε για κάθε $x \in Δ$ ισχύει: $$(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)$$ Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις.
Αν οι συναρτήσεις $f$, $g$ είναι παραγωγίσιμες σ' ένα διάστημα $Δ$, τότε για κάθε $x \in Δ$ ισχύει: $$(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)$$ Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις.
Ερώτηση 8
Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα για την παράγωγο γινομένου.
Θεώρημα (Παράγωγος γινομένου):
Αν οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0$, τότε και η συνάρτηση $f \cdot g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και ισχύει: $$(f \cdot g)'(x_0) = f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0)$$
Αν οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0$, τότε και η συνάρτηση $f \cdot g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και ισχύει: $$(f \cdot g)'(x_0) = f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0)$$
Απόδειξη:
Για $x \neq x_0$, ισχύει: $$ \frac{(f \cdot g)(x) - (f \cdot g)(x_0)}{x - x_0} = \frac{f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0)}{x - x_0} $$ Προσθέτουμε και αφαιρούμε τον όρο $f(x_0)g(x)$: $$ = \frac{f(x)g(x) - f(x_0)g(x) + f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x_0)}{x - x_0} $$ $$ = \frac{[f(x) - f(x_0)]g(x) + f(x_0)[g(x) - g(x_0)]}{x - x_0} $$ $$ = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot g(x) + f(x_0) \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} $$ Επειδή οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0$ και η $g$ είναι συνεχής στο $x_0$, έχουμε: $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0), \quad \lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0), \quad \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = g'(x_0) $$ Επομένως: $$ \lim_{x \to x_0} \frac{(f \cdot g)(x) - (f \cdot g)(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0) $$
Για $x \neq x_0$, ισχύει: $$ \frac{(f \cdot g)(x) - (f \cdot g)(x_0)}{x - x_0} = \frac{f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0)}{x - x_0} $$ Προσθέτουμε και αφαιρούμε τον όρο $f(x_0)g(x)$: $$ = \frac{f(x)g(x) - f(x_0)g(x) + f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x_0)}{x - x_0} $$ $$ = \frac{[f(x) - f(x_0)]g(x) + f(x_0)[g(x) - g(x_0)]}{x - x_0} $$ $$ = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot g(x) + f(x_0) \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} $$ Επειδή οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0$ και η $g$ είναι συνεχής στο $x_0$, έχουμε: $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0), \quad \lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0), \quad \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = g'(x_0) $$ Επομένως: $$ \lim_{x \to x_0} \frac{(f \cdot g)(x) - (f \cdot g)(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0) $$
Γενικά: $(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
Ερώτηση 9
Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα για την παράγωγο πηλίκου.
Θεώρημα (Παράγωγος πηλίκου):
Αν οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0$ και $g(x_0) \neq 0$, τότε: $$\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) = \frac{f'(x_0) \cdot g(x_0) - f(x_0) \cdot g'(x_0)}{[g(x_0)]^2}$$
Αν οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0$ και $g(x_0) \neq 0$, τότε: $$\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) = \frac{f'(x_0) \cdot g(x_0) - f(x_0) \cdot g'(x_0)}{[g(x_0)]^2}$$
Γενικά: $\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
Ειδική περίπτωση:
$$\left(\frac{1}{g}\right)'(x) = -\frac{g'(x)}{[g(x)]^2}$$
Ερώτηση 10
Έστω η συνάρτηση $f(x) = x^{-v}, \, v \in \mathbb{N}^*$. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}^*$ και ισχύει $(x^{-v})' = -vx^{-v-1}$.
Απόδειξη:
Για κάθε $x \in \mathbb{R}^*$ έχουμε: $$(x^{-v})' = \left(\frac{1}{x^v}\right)'$$ Εφαρμόζουμε τον κανόνα παραγώγισης πηλίκου για $f(x)=1$ και $g(x)=x^v$: $$= \frac{(1)' \cdot x^v - 1 \cdot (x^v)'}{(x^v)^2} = \frac{0 \cdot x^v - 1 \cdot vx^{v-1}}{x^{2v}} = \frac{-vx^{v-1}}{x^{2v}}$$ $$= -v x^{v-1-2v} = -v x^{-v-1}$$ Επομένως, για κάθε $x \in \mathbb{R}^*$ ισχύει:
Για κάθε $x \in \mathbb{R}^*$ έχουμε: $$(x^{-v})' = \left(\frac{1}{x^v}\right)'$$ Εφαρμόζουμε τον κανόνα παραγώγισης πηλίκου για $f(x)=1$ και $g(x)=x^v$: $$= \frac{(1)' \cdot x^v - 1 \cdot (x^v)'}{(x^v)^2} = \frac{0 \cdot x^v - 1 \cdot vx^{v-1}}{x^{2v}} = \frac{-vx^{v-1}}{x^{2v}}$$ $$= -v x^{v-1-2v} = -v x^{-v-1}$$ Επομένως, για κάθε $x \in \mathbb{R}^*$ ισχύει:
$$(x^{-v})' = -vx^{-v-1}, \quad v \in \mathbb{N}^*$$
Ερώτηση 11
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f(x)=\varepsilon\varphi x$ είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της και να βρείτε την παράγωγό της.
✓ Σωστή απόδειξη:
Η συνάρτηση $\varepsilon\varphi x$ ορίζεται ως $\varepsilon\varphi x = \frac{\eta\mu x}{\sigma\upsilon\nu x}$, για κάθε $x \neq \frac{\pi}{2} + \kappa\pi$, $\kappa \in \mathbb{Z}$. Οι συναρτήσεις $\eta\mu x$ και $\sigma\upsilon\nu x$ είναι παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$, επομένως στο πεδίο ορισμού της $\varepsilon\varphi x$ (όπου $\sigma\upsilon\nu x \neq 0$) μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα παραγώγισης πηλίκου. Για κάθε $x$ με $\sigma\upsilon\nu x \neq 0$ έχουμε: $$(\varepsilon\varphi x)' = \left(\frac{\eta\mu x}{\sigma\upsilon\nu x}\right)' = \frac{(\eta\mu x)' \cdot \sigma\upsilon\nu x - \eta\mu x \cdot (\sigma\upsilon\nu x)'}{\sigma\upsilon\nu^2 x}$$ $$= \frac{\sigma\upsilon\nu x \cdot \sigma\upsilon\nu x - \eta\mu x \cdot (-\eta\mu x)}{\sigma\upsilon\nu^2 x} = \frac{\sigma\upsilon\nu^2 x + \eta\mu^2 x}{\sigma\upsilon\nu^2 x}$$ $$= \frac{1}{\sigma\upsilon\nu^2 x} = 1 + \varepsilon\varphi^2 x.$$
Η συνάρτηση $\varepsilon\varphi x$ ορίζεται ως $\varepsilon\varphi x = \frac{\eta\mu x}{\sigma\upsilon\nu x}$, για κάθε $x \neq \frac{\pi}{2} + \kappa\pi$, $\kappa \in \mathbb{Z}$. Οι συναρτήσεις $\eta\mu x$ και $\sigma\upsilon\nu x$ είναι παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$, επομένως στο πεδίο ορισμού της $\varepsilon\varphi x$ (όπου $\sigma\upsilon\nu x \neq 0$) μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα παραγώγισης πηλίκου. Για κάθε $x$ με $\sigma\upsilon\nu x \neq 0$ έχουμε: $$(\varepsilon\varphi x)' = \left(\frac{\eta\mu x}{\sigma\upsilon\nu x}\right)' = \frac{(\eta\mu x)' \cdot \sigma\upsilon\nu x - \eta\mu x \cdot (\sigma\upsilon\nu x)'}{\sigma\upsilon\nu^2 x}$$ $$= \frac{\sigma\upsilon\nu x \cdot \sigma\upsilon\nu x - \eta\mu x \cdot (-\eta\mu x)}{\sigma\upsilon\nu^2 x} = \frac{\sigma\upsilon\nu^2 x + \eta\mu^2 x}{\sigma\upsilon\nu^2 x}$$ $$= \frac{1}{\sigma\upsilon\nu^2 x} = 1 + \varepsilon\varphi^2 x.$$
$$(\varepsilon\varphi x)' = \frac{1}{\sigma\upsilon\nu^2 x} = 1 + \varepsilon\varphi^2 x$$
Ερώτηση 12
Να διατυπώσετε το θεώρημα για την παράγωγο σύνθετης συνάρτησης.
Θεώρημα (Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης):
Αν η συνάρτηση $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $g(x_0)$, τότε η συνάρτηση $f \circ g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και ισχύει: $$(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)$$
Αν η συνάρτηση $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $g(x_0)$, τότε η συνάρτηση $f \circ g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και ισχύει: $$(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)$$
Σχόλια:
α) Γενικά, αν μια συνάρτηση $g$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $Δ$ και η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $g(Δ)$, τότε η συνάρτηση $f \circ g$ είναι παραγωγίσιμη στο $Δ$ και ισχύει: $$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$ β) Δηλαδή, αν $u = g(x)$, τότε $(f(u))' = f'(u) \cdot u'$.
γ) Με το συμβολισμό του Leibniz, αν $y = f(u)$ και $u = g(x)$, έχουμε τον τύπο:
α) Γενικά, αν μια συνάρτηση $g$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $Δ$ και η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $g(Δ)$, τότε η συνάρτηση $f \circ g$ είναι παραγωγίσιμη στο $Δ$ και ισχύει: $$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$ β) Δηλαδή, αν $u = g(x)$, τότε $(f(u))' = f'(u) \cdot u'$.
γ) Με το συμβολισμό του Leibniz, αν $y = f(u)$ και $u = g(x)$, έχουμε τον τύπο:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$
που είναι γνωστός ως κανόνας της αλυσίδας. Το σύμβολο $\frac{dy}{du}$ δεν είναι πηλίκο, αλλά στον κανόνα της αλυσίδας συμπεριφέρεται ως πηλίκο, πράγμα που ευκολύνει την απομνημόνευση του κανόνα.
Ερώτηση 13
Να αποδείξετε ότι: α) $f(x) = x^α$, $α ∈ ℝ - ℤ$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +∞)$ και $f'(x) = αx^{α-1}$
β) $f(x) = α^x$, $α > 0$ είναι παραγωγίσιμη στο $ℝ$ και $f'(x) = α^x \ln α$
γ) $f(x) = \ln |x|$, $x ∈ ℝ^*$ είναι παραγωγίσιμη στο $ℝ^*$ και $(\ln |x|)' = \frac{1}{x}$
β) $f(x) = α^x$, $α > 0$ είναι παραγωγίσιμη στο $ℝ$ και $f'(x) = α^x \ln α$
γ) $f(x) = \ln |x|$, $x ∈ ℝ^*$ είναι παραγωγίσιμη στο $ℝ^*$ και $(\ln |x|)' = \frac{1}{x}$
Θεώρημα:
α) Η συνάρτηση $f(x) = x^α$, $α ∈ ℝ - ℤ$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +∞)$ και ισχύει: $$f'(x) = αx^{α-1}$$
β) Η συνάρτηση $f(x) = α^x$, $α > 0$ είναι παραγωγίσιμη στο $ℝ$ και ισχύει: $$f'(x) = α^x \ln α$$
γ) Η συνάρτηση $f(x) = \ln |x|$, $x ∈ ℝ^*$ είναι παραγωγίσιμη στο $ℝ^*$ και ισχύει: $$\left(\ln |x|\right)' = \frac{1}{x}$$
α) Η συνάρτηση $f(x) = x^α$, $α ∈ ℝ - ℤ$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +∞)$ και ισχύει: $$f'(x) = αx^{α-1}$$
β) Η συνάρτηση $f(x) = α^x$, $α > 0$ είναι παραγωγίσιμη στο $ℝ$ και ισχύει: $$f'(x) = α^x \ln α$$
γ) Η συνάρτηση $f(x) = \ln |x|$, $x ∈ ℝ^*$ είναι παραγωγίσιμη στο $ℝ^*$ και ισχύει: $$\left(\ln |x|\right)' = \frac{1}{x}$$
Απόδειξη:
α) Έστω $y = x^α = e^{α \ln x}$. Θέτουμε $u = α \ln x$, οπότε $y = e^u$. Επομένως: $$y' = (e^u)' = e^u \cdot u' = e^{α \ln x} \cdot \frac{α}{x} = x^α \cdot \frac{α}{x} = αx^{α-1}$$ β) Έστω $y = α^x = e^{x \ln α}$. Θέτουμε $u = x \ln α$, οπότε $y = e^u$. Επομένως: $$y' = (e^u)' = e^u \cdot u' = e^{x \ln α} \cdot \ln α = α^x \ln α$$ γ)
• Αν $x > 0$, τότε $(\ln |x|)' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
• Αν $x < 0$, τότε $\ln |x| = \ln(-x)$. Θέτουμε $y = \ln(-x)$ και $u = -x$, οπότε $y = \ln u$. Επομένως: $$y' = (\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$$
Άρα για κάθε $x ∈ ℝ^*$ ισχύει $(\ln |x|)' = \frac{1}{x}$.
α) Έστω $y = x^α = e^{α \ln x}$. Θέτουμε $u = α \ln x$, οπότε $y = e^u$. Επομένως: $$y' = (e^u)' = e^u \cdot u' = e^{α \ln x} \cdot \frac{α}{x} = x^α \cdot \frac{α}{x} = αx^{α-1}$$ β) Έστω $y = α^x = e^{x \ln α}$. Θέτουμε $u = x \ln α$, οπότε $y = e^u$. Επομένως: $$y' = (e^u)' = e^u \cdot u' = e^{x \ln α} \cdot \ln α = α^x \ln α$$ γ)
• Αν $x > 0$, τότε $(\ln |x|)' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
• Αν $x < 0$, τότε $\ln |x| = \ln(-x)$. Θέτουμε $y = \ln(-x)$ και $u = -x$, οπότε $y = \ln u$. Επομένως: $$y' = (\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$$
Άρα για κάθε $x ∈ ℝ^*$ ισχύει $(\ln |x|)' = \frac{1}{x}$.
Σχόλιο:
Οι τύποι αυτοί γενικεύουν τους γνωστούς κανόνες παραγώγισης και είναι πολύ χρήσιμοι σε πιο σύνθετες ασκήσεις.
Οι τύποι αυτοί γενικεύουν τους γνωστούς κανόνες παραγώγισης και είναι πολύ χρήσιμοι σε πιο σύνθετες ασκήσεις.