📐 Δ2. Διαφορικός Λογισμός
Βασικά θεωρήματα • Συνέπειες ΘΜΤ • Μονοτονία
14. Ρυθμός μεταβολής
Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του $y$ ως προς $x$ για $x=x_0$;
Ορισμός ρυθμού μεταβολής
Αν δύο μεταβλητά μεγέθη $x$, $y$ συνδέονται με τη σχέση $y = f(x)$, όπου $f$ είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο $x_0$, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του $y$ ως προς το $x$ στο σημείο $x_0$ την παράγωγο $f'(x_0)$.
Αν δύο μεταβλητά μεγέθη $x$, $y$ συνδέονται με τη σχέση $y = f(x)$, όπου $f$ είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο $x_0$, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του $y$ ως προς το $x$ στο σημείο $x_0$ την παράγωγο $f'(x_0)$.
Σχόλια – Εφαρμογές:
α) Φυσική (Επιτάχυνση): Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας $υ$ ως προς το χρόνο $t$ τη χρονική στιγμή $t_0$ είναι η παράγωγος $υ'(t_0)$. Η παράγωγος αυτή λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη στιγμή $t_0$ και συμβολίζεται $α(t_0)$. Ισχύει: $$α(t_0)=υ'(t_0)=S''(t_0)$$ β) Οικονομία (Οριακό κόστος – Οριακή είσπραξη – Οριακό κέρδος):
Το κόστος παραγωγής $Κ$, η είσπραξη $Ε$ και το κέρδος $Ρ$ εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας $x$ του παραγόμενου προϊόντος. Η παράγωγος $Κ'(x_0)$ παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους ως προς $x$ και λέγεται οριακό κόστος στο $x_0$. Ανάλογα ορίζονται οριακή είσπραξη και οριακό κέρδος.
α) Φυσική (Επιτάχυνση): Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας $υ$ ως προς το χρόνο $t$ τη χρονική στιγμή $t_0$ είναι η παράγωγος $υ'(t_0)$. Η παράγωγος αυτή λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη στιγμή $t_0$ και συμβολίζεται $α(t_0)$. Ισχύει: $$α(t_0)=υ'(t_0)=S''(t_0)$$ β) Οικονομία (Οριακό κόστος – Οριακή είσπραξη – Οριακό κέρδος):
Το κόστος παραγωγής $Κ$, η είσπραξη $Ε$ και το κέρδος $Ρ$ εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας $x$ του παραγόμενου προϊόντος. Η παράγωγος $Κ'(x_0)$ παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους ως προς $x$ και λέγεται οριακό κόστος στο $x_0$. Ανάλογα ορίζονται οριακή είσπραξη και οριακό κέρδος.
15. Θεώρημα Rolle
Διατύπωση & γεωμετρική ερμηνεία
Θεώρημα του Rolle
Αν μια συνάρτηση $f$ είναι:
Αν μια συνάρτηση $f$ είναι:
- συνεχής στο κλειστό διάστημα $[α,β]$
- παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα $(α,β)$ και
- $f(α)=f(β)$
Γεωμετρική ερμηνεία:
Αν η $C_f$ είναι μια συνεχής γραμμή από το $A(α,f(α))$ στο $B(β,f(β))$, η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(α,β)$ και το ευθύγραμμο τμήμα $AB$ είναι παράλληλο στον άξονα $x'x$ (αφού $f(α)=f(β)$), τότε υπάρχει μία τουλάχιστον οριζόντια εφαπτομένη της $C_f$ σε σημείο $M(\xi,f(\xi))$ με $\xi\in(α,β)$.
Αν η $C_f$ είναι μια συνεχής γραμμή από το $A(α,f(α))$ στο $B(β,f(β))$, η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(α,β)$ και το ευθύγραμμο τμήμα $AB$ είναι παράλληλο στον άξονα $x'x$ (αφού $f(α)=f(β)$), τότε υπάρχει μία τουλάχιστον οριζόντια εφαπτομένη της $C_f$ σε σημείο $M(\xi,f(\xi))$ με $\xi\in(α,β)$.
Θεώρημα Rolle: $f(α) = f(β)$ ⇒ υπάρχει $\xi \in (α,β)$ με $f'(\xi)=0$ (οριζόντια εφαπτομένη)
16. Θεώρημα Μέσης Τιμής
Διατύπωση & γεωμετρική ερμηνεία
Θεώρημα Μέσης Τιμής (ΘΜΤ)
Αν μια συνάρτηση $f$ είναι:
Αν μια συνάρτηση $f$ είναι:
- συνεχής στο κλειστό διάστημα $[α,β]$ και
- παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα $(α,β)$
Γεωμετρική ερμηνεία:
Αν η $C_f$ είναι μια συνεχής γραμμή από το $A(α,f(α))$ στο $B(β,f(β))$ και η $f$ παραγωγίσιμη στο $(α,β)$, τότε υπάρχει μία τουλάχιστον εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο $M(\xi,f(\xi))$, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία $AB$, με $\xi\in(α,β)$.
Αν η $C_f$ είναι μια συνεχής γραμμή από το $A(α,f(α))$ στο $B(β,f(β))$ και η $f$ παραγωγίσιμη στο $(α,β)$, τότε υπάρχει μία τουλάχιστον εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο $M(\xi,f(\xi))$, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία $AB$, με $\xi\in(α,β)$.
Θεώρημα Μέσης Τιμής: $f'(\xi) = \frac{f(β)-f(α)}{β-α}$ — εφαπτομένη παράλληλη στη χορδή $AB$
17. Σταθερή συνάρτηση
Αν $f'(x)=0$ σε διάστημα, τότε $f$ σταθερή
Θεώρημα
Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σε ένα διάστημα $Δ$. Αν
• η $f$ είναι συνεχής στο $Δ$ και
• $f'(x)=0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $Δ$,
τότε η $f$ είναι σταθερή σε όλο το διάστημα $Δ$.
Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σε ένα διάστημα $Δ$. Αν
• η $f$ είναι συνεχής στο $Δ$ και
• $f'(x)=0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $Δ$,
τότε η $f$ είναι σταθερή σε όλο το διάστημα $Δ$.
Απόδειξη:
Αρκεί να δείξουμε ότι για οποιαδήποτε $x_1,x_2\in Δ$ ισχύει $f(x_1)=f(x_2)$.
• Αν $x_1=x_2$, προφανώς $f(x_1)=f(x_2)$.
• Αν $x_1<x_2$, στο $[x_1,x_2]$ η $f$ ικανοποιεί ΘΜΤ. Άρα υπάρχει $\xi\in(x_1,x_2)$ με $$f'(\xi)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$$ Το $\xi$ είναι εσωτερικό σημείο του $Δ$, οπότε $f'(\xi)=0$. Επομένως $$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=0 \Rightarrow f(x_2)=f(x_1).$$ • Αν $x_1>x_2$, ομοίως αποδεικνύεται $f(x_1)=f(x_2)$.
Σε όλες τις περιπτώσεις $f(x_1)=f(x_2)$, άρα η $f$ σταθερή στο $Δ$.
Αρκεί να δείξουμε ότι για οποιαδήποτε $x_1,x_2\in Δ$ ισχύει $f(x_1)=f(x_2)$.
• Αν $x_1=x_2$, προφανώς $f(x_1)=f(x_2)$.
• Αν $x_1<x_2$, στο $[x_1,x_2]$ η $f$ ικανοποιεί ΘΜΤ. Άρα υπάρχει $\xi\in(x_1,x_2)$ με $$f'(\xi)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$$ Το $\xi$ είναι εσωτερικό σημείο του $Δ$, οπότε $f'(\xi)=0$. Επομένως $$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=0 \Rightarrow f(x_2)=f(x_1).$$ • Αν $x_1>x_2$, ομοίως αποδεικνύεται $f(x_1)=f(x_2)$.
Σε όλες τις περιπτώσεις $f(x_1)=f(x_2)$, άρα η $f$ σταθερή στο $Δ$.
18. Ίσες παράγωγοι
Αν $f'(x)=g'(x)$ σε διάστημα, τότε $f=g+c$
Θεώρημα
Έστω δύο συναρτήσεις $f,g$ ορισμένες σε ένα διάστημα $Δ$. Αν
• οι $f,g$ είναι συνεχείς στο $Δ$ και
• $f'(x)=g'(x)$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $Δ$,
τότε υπάρχει σταθερά $c$ τέτοια ώστε για κάθε $x\in Δ$: $f(x)=g(x)+c$.
Έστω δύο συναρτήσεις $f,g$ ορισμένες σε ένα διάστημα $Δ$. Αν
• οι $f,g$ είναι συνεχείς στο $Δ$ και
• $f'(x)=g'(x)$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $Δ$,
τότε υπάρχει σταθερά $c$ τέτοια ώστε για κάθε $x\in Δ$: $f(x)=g(x)+c$.
Απόδειξη:
Θεωρούμε $h(x)=f(x)-g(x)$. Η $h$ είναι συνεχής στο $Δ$ και για κάθε εσωτερικό $x\in Δ$: $$h'(x)=f'(x)-g'(x)=0.$$ Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα (17), η $h$ είναι σταθερή στο $Δ$. Άρα υπάρχει $c\in\mathbb{R}$ με $h(x)=c$ ∀ $x\inΔ$, δηλαδή $f(x)=g(x)+c$.
Θεωρούμε $h(x)=f(x)-g(x)$. Η $h$ είναι συνεχής στο $Δ$ και για κάθε εσωτερικό $x\in Δ$: $$h'(x)=f'(x)-g'(x)=0.$$ Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα (17), η $h$ είναι σταθερή στο $Δ$. Άρα υπάρχει $c\in\mathbb{R}$ με $h(x)=c$ ∀ $x\inΔ$, δηλαδή $f(x)=g(x)+c$.
Σχόλιο: Τα θεωρήματα 17 & 18 ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων.
Αν $f'(x)=g'(x)$ σε διάστημα $Δ$, τότε $f(x)=g(x)+c$, $c\in\mathbb{R}$
19. Πρόταση
$f'(x)>0$ ⇒ $f$ γνησίως αύξουσα
Πρόταση (χωρίς απόδειξη)
Αν για μια συνάρτηση $f$ ισχύει ότι $f'(x)>0$ για κάθε $x\in(α,β)$, τότε η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(α,β)$. Αντί του $(α,β)$ μπορούμε να έχουμε τυχαίο διάστημα $Δ$.
Αν για μια συνάρτηση $f$ ισχύει ότι $f'(x)>0$ για κάθε $x\in(α,β)$, τότε η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(α,β)$. Αντί του $(α,β)$ μπορούμε να έχουμε τυχαίο διάστημα $Δ$.
20. Μονοτονία & παράγωγος
Θεώρημα & απόδειξη
Θεώρημα
Έστω $f$ συνεχής σε διάστημα $Δ$.
Έστω $f$ συνεχής σε διάστημα $Δ$.
- Αν $f'(x)>0$ σε κάθε εσωτερικό σημείο του $Δ$, τότε η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $Δ$.
- Αν $f'(x)<0$ σε κάθε εσωτερικό σημείο του $Δ$, τότε η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $Δ$.
Απόδειξη (για $f'(x)>0$):
Έστω $x_1,x_2\inΔ$ με $x_1<x_2$. Θα δείξουμε $f(x_1)<f(x_2)$.
Στο $[x_1,x_2]$ η $f$ ικανοποιεί ΘΜΤ, άρα υπάρχει $\xi\in(x_1,x_2)$ με $$f'(\xi)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$$ Επειδή $f'(\xi)>0$ και $x_2-x_1>0$, έπεται $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0$, οπότε $f(x_2)-f(x_1)>0$, δηλαδή $f(x_2)>f(x_1)$. Άρα $f$ γνησίως αύξουσα.
Η απόδειξη για $f'(x)<0$ είναι ανάλογη.
Έστω $x_1,x_2\inΔ$ με $x_1<x_2$. Θα δείξουμε $f(x_1)<f(x_2)$.
Στο $[x_1,x_2]$ η $f$ ικανοποιεί ΘΜΤ, άρα υπάρχει $\xi\in(x_1,x_2)$ με $$f'(\xi)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$$ Επειδή $f'(\xi)>0$ και $x_2-x_1>0$, έπεται $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0$, οπότε $f(x_2)-f(x_1)>0$, δηλαδή $f(x_2)>f(x_1)$. Άρα $f$ γνησίως αύξουσα.
Η απόδειξη για $f'(x)<0$ είναι ανάλογη.
Σχόλιο (αντίστροφο):
Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. Αν η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $Δ$, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του $Δ$ (π.χ. $f(x)=x^3$). Αντίστοιχα για γνησίως φθίνουσα.
Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. Αν η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $Δ$, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του $Δ$ (π.χ. $f(x)=x^3$). Αντίστοιχα για γνησίως φθίνουσα.