📊 Δ3. Διαφορικός Λογισμός
Ακρότατα • Κυρτότητα • Ασύμπτωτες • Κανόνες de L'Hospital
21. Τοπικά ακρότατα
Να δώσετε τους ορισμούς του τοπικού μεγίστου και του τοπικού ελαχίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού Α. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ τοπικών και ολικών ακροτάτων;
Τοπικό μέγιστο
Μια συνάρτηση $f$, με πεδίο ορισμού $A$, παρουσιάζει στο $x_0\in A$ τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει $\delta>0$ τέτοιο ώστε $f(x)\le f(x_0)$ για κάθε $x\in A\cap(x_0-\delta,x_0+\delta)$. Το $x_0$ λέγεται θέση τοπικού μεγίστου, το $f(x_0)$ τοπικό μέγιστο.
Μια συνάρτηση $f$, με πεδίο ορισμού $A$, παρουσιάζει στο $x_0\in A$ τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει $\delta>0$ τέτοιο ώστε $f(x)\le f(x_0)$ για κάθε $x\in A\cap(x_0-\delta,x_0+\delta)$. Το $x_0$ λέγεται θέση τοπικού μεγίστου, το $f(x_0)$ τοπικό μέγιστο.
Τοπικό ελάχιστο
Μια συνάρτηση $f$, με πεδίο ορισμού $A$, παρουσιάζει στο $x_0\in A$ τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει $\delta>0$ τέτοιο ώστε $f(x)\ge f(x_0)$ για κάθε $x\in A\cap(x_0-\delta,x_0+\delta)$. Το $x_0$ λέγεται θέση τοπικού ελαχίστου, το $f(x_0)$ τοπικό ελάχιστο.
Μια συνάρτηση $f$, με πεδίο ορισμού $A$, παρουσιάζει στο $x_0\in A$ τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει $\delta>0$ τέτοιο ώστε $f(x)\ge f(x_0)$ για κάθε $x\in A\cap(x_0-\delta,x_0+\delta)$. Το $x_0$ λέγεται θέση τοπικού ελαχίστου, το $f(x_0)$ τοπικό ελάχιστο.
Σχόλια:
α) Τοπικά ακρότατα = τοπικά μέγιστα + τοπικά ελάχιστα. Ολικά ακρότατα = μέγιστο / ελάχιστο στο πεδίο ορισμού.
β) Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο.
γ) Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα δεν είναι πάντοτε (ολικό) μέγιστο.
α) Τοπικά ακρότατα = τοπικά μέγιστα + τοπικά ελάχιστα. Ολικά ακρότατα = μέγιστο / ελάχιστο στο πεδίο ορισμού.
β) Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο.
γ) Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα δεν είναι πάντοτε (ολικό) μέγιστο.
22. Θεώρημα Fermat
Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα Fermat. Ποια είναι η γεωμετρική του ερμηνεία;
Θεώρημα Fermat
Αν μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σε διάστημα $Δ$ και $x_0$ εσωτερικό σημείο του $Δ$ στο οποίο η $f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$, τότε $f'(x_0)=0$.
Αν μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σε διάστημα $Δ$ και $x_0$ εσωτερικό σημείο του $Δ$ στο οποίο η $f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$, τότε $f'(x_0)=0$.
Απόδειξη (για τοπικό μέγιστο):
Επειδή το $x_0$ είναι εσωτερικό και η $f$ έχει τοπικό μέγιστο, υπάρχει $\delta>0$ ώστε $f(x)\le f(x_0)$ για κάθε $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$.
Για $x\in(x_0-\delta,x_0)$: $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0 \Rightarrow \lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$.
Για $x\in(x_0,x_0+\delta)$: $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0 \Rightarrow \lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0$.
Επειδή η $f$ είναι παραγωγίσιμη, τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα και κοινή τιμή η $f'(x_0)$. Άρα $f'(x_0)=0$.
Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη.
Επειδή το $x_0$ είναι εσωτερικό και η $f$ έχει τοπικό μέγιστο, υπάρχει $\delta>0$ ώστε $f(x)\le f(x_0)$ για κάθε $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$.
Για $x\in(x_0-\delta,x_0)$: $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0 \Rightarrow \lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$.
Για $x\in(x_0,x_0+\delta)$: $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0 \Rightarrow \lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0$.
Επειδή η $f$ είναι παραγωγίσιμη, τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα και κοινή τιμή η $f'(x_0)$. Άρα $f'(x_0)=0$.
Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη.
Γεωμετρική ερμηνεία:
Αν η $f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο $x_0$ και είναι παραγωγίσιμη, τότε η εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο $M(x_0,f(x_0))$ είναι οριζόντια.
Αν η $f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο $x_0$ και είναι παραγωγίσιμη, τότε η εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο $M(x_0,f(x_0))$ είναι οριζόντια.
Εφαπτομένη οριζόντια σε τοπικό ακρότατο
23. Κρίσιμα σημεία
α) Ποια σημεία λέγονται κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ;
β) Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ;
β) Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ;
Κρίσιμα σημεία
Εσωτερικά σημεία του διαστήματος $Δ$ όπου η $f$ δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγος είναι μηδέν.
Εσωτερικά σημεία του διαστήματος $Δ$ όπου η $f$ δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγος είναι μηδέν.
Πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων
1. Εσωτερικά σημεία όπου $f'(x)=0$.
2. Εσωτερικά σημεία όπου η $f$ δεν παραγωγίζεται.
3. Τα άκρα του $Δ$ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού).
1. Εσωτερικά σημεία όπου $f'(x)=0$.
2. Εσωτερικά σημεία όπου η $f$ δεν παραγωγίζεται.
3. Τα άκρα του $Δ$ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού).
24. Ολικά ακρότατα
Πώς βρίσκουμε τα ολικά ακρότατα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα κλειστό διάστημα $[α,β]$;
Βήματα:
1. Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της $f$ στο $[α,β]$.
2. Υπολογίζουμε τις τιμές της $f$ στα σημεία αυτά και στα άκρα $α$, $β$.
3. Η μεγαλύτερη τιμή είναι το (ολικό) μέγιστο, η μικρότερη το (ολικό) ελάχιστο.
1. Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της $f$ στο $[α,β]$.
2. Υπολογίζουμε τις τιμές της $f$ στα σημεία αυτά και στα άκρα $α$, $β$.
3. Η μεγαλύτερη τιμή είναι το (ολικό) μέγιστο, η μικρότερη το (ολικό) ελάχιστο.
25. Κριτήριο πρώτης παραγώγου
Να διατυπώσετε το θεώρημα που συσχετίζει το πρόσημο της πρώτης παραγώγου εκατέρωθεν ενός σημείου με την ύπαρξη τοπικού ακροτάτου. Να αποδείξετε την περίπτωση του τοπικού μεγίστου.
Θεώρημα
Έστω $f$ παραγωγίσιμη σε διάστημα $Δ$, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο $x_0$, όπου η $f$ είναι συνεχής.
i) Αν $f'(x)>0$ στο $(α,x_0)$ και $f'(x)<0$ στο $(x_0,β)$, τότε το $f(x_0)$ είναι τοπικό μέγιστο.
ii) Αν $f'(x)<0$ στο $(α,x_0)$ και $f'(x)>0$ στο $(x_0,β)$, τότε το $f(x_0)$ είναι τοπικό ελάχιστο.
iii) Αν η $f'$ διατηρεί πρόσημο εκατέρωθεν, δεν έχουμε ακρότατο (η $f$ γνησίως μονότονη).
Έστω $f$ παραγωγίσιμη σε διάστημα $Δ$, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο $x_0$, όπου η $f$ είναι συνεχής.
i) Αν $f'(x)>0$ στο $(α,x_0)$ και $f'(x)<0$ στο $(x_0,β)$, τότε το $f(x_0)$ είναι τοπικό μέγιστο.
ii) Αν $f'(x)<0$ στο $(α,x_0)$ και $f'(x)>0$ στο $(x_0,β)$, τότε το $f(x_0)$ είναι τοπικό ελάχιστο.
iii) Αν η $f'$ διατηρεί πρόσημο εκατέρωθεν, δεν έχουμε ακρότατο (η $f$ γνησίως μονότονη).
Απόδειξη (i):
Στο $(α,x_0)$ έχουμε $f'(x)>0$ και συνεχή στο $x_0$, άρα $f$ γνησίως αύξουσα στο $(α,x_0]$, οπότε $f(x)\le f(x_0)$ για $x
Στο $(x_0,β)$ έχουμε $f'(x)<0$, άρα $f$ γνησίως φθίνουσα στο $[x_0,β)$, οπότε $f(x)\le f(x_0)$ για $x>x_0$.
Επομένως $f(x)\le f(x_0)$ για κάθε $x$ κοντά στο $x_0$, δηλαδή τοπικό μέγιστο.
Στο $(α,x_0)$ έχουμε $f'(x)>0$ και συνεχή στο $x_0$, άρα $f$ γνησίως αύξουσα στο $(α,x_0]$, οπότε $f(x)\le f(x_0)$ για $x
Επομένως $f(x)\le f(x_0)$ για κάθε $x$ κοντά στο $x_0$, δηλαδή τοπικό μέγιστο.
35α: μέγιστο
35β: ελάχιστο
35γ: μονότονη
26. Κυρτή – Κοίλη
Πότε μια συνάρτηση f λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ; Τι γνωρίζετε για τη θέση της εφαπτομένης σε σχέση με τη γραφική παράσταση;
Κυρτή (στρέφει τα κοίλα άνω)
Η $f$ είναι συνεχής στο $Δ$ και η $f'$ είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του $Δ$.
Η $f$ είναι συνεχής στο $Δ$ και η $f'$ είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του $Δ$.
Κοίλη (στρέφει τα κοίλα κάτω)
Η $f$ είναι συνεχής στο $Δ$ και η $f'$ είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του $Δ$.
Η $f$ είναι συνεχής στο $Δ$ και η $f'$ είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του $Δ$.
Συμβολισμός: Κυρτή: $\smile$, Κοίλη: $\frown$
Γεωμετρικά: Η εφαπτομένη βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση για κυρτή, πάνω για κοίλη (εκτός σημείου επαφής).
Γεωμετρικά: Η εφαπτομένη βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση για κυρτή, πάνω για κοίλη (εκτός σημείου επαφής).
27. Κυρτότητα & $f''(x)$
Να διατυπώσετε το θεώρημα που συσχετίζει την κυρτότητα μιας συνάρτησης με το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου. Ισχύει το αντίστροφο;
Έστω $f$ συνεχής σε διάστημα $Δ$ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του.
• Αν $f''(x)>0$ για κάθε εσωτερικό $x$, τότε η $f$ είναι κυρτή στο $Δ$.
• Αν $f''(x)<0$ για κάθε εσωτερικό $x$, τότε η $f$ είναι κοίλη στο $Δ$.
• Αν $f''(x)>0$ για κάθε εσωτερικό $x$, τότε η $f$ είναι κυρτή στο $Δ$.
• Αν $f''(x)<0$ για κάθε εσωτερικό $x$, τότε η $f$ είναι κοίλη στο $Δ$.
Σχόλιο: Το αντίστροφο δεν ισχύει. Π.χ. $f(x)=x^4$ είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$, αλλά $f''(0)=0$, όχι θετική.
28. Σημείο καμπής
Πότε ένα σημείο $A(x_0,f(x_0))$ λέγεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f;
Το $A(x_0,f(x_0))$ λέγεται σημείο καμπής όταν:
• Η $f$ είναι κυρτή στο $(α,x_0)$ και κοίλη στο $(x_0,β)$ (ή αντίστροφα).
• Η $C_f$ έχει εφαπτομένη στο $x_0$.
• Η $f$ είναι κυρτή στο $(α,x_0)$ και κοίλη στο $(x_0,β)$ (ή αντίστροφα).
• Η $C_f$ έχει εφαπτομένη στο $x_0$.
Στα σημεία καμπής η εφαπτομένη «διαπερνά» την καμπύλη.
29. Θεώρημα
Ποιο θεώρημα συνδέει τα σημεία καμπής μιας δύο φορές παραγωγίσιμης συνάρτησης με τη δεύτερη παράγωγο;
Αν το $x_0$ είναι σημείο καμπής της $f$ και η $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, τότε $f''(x_0)=0$.
30. Πιθανές θέσεις καμπής
Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ;
Πιθανές θέσεις:
i) Εσωτερικά σημεία όπου $f''(x)=0$.
ii) Εσωτερικά σημεία όπου δεν υπάρχει η $f''(x)$.
i) Εσωτερικά σημεία όπου $f''(x)=0$.
ii) Εσωτερικά σημεία όπου δεν υπάρχει η $f''(x)$.
31. Κριτήριο
Πώς καταλήγουμε στο ποιες από τις πιθανές θέσεις σημείων καμπής αποτελούν τελικά σημεία καμπής;
Κριτήριο σημείου καμπής
Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σ' ένα διάστημα $(\alpha, \beta)$ και $x_0 \in (\alpha, \beta)$. Αν
Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σ' ένα διάστημα $(\alpha, \beta)$ και $x_0 \in (\alpha, \beta)$. Αν
- η $f''$ αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του $x_0$ και
- ορίζεται εφαπτομένη της $C_f$ στο $A(x_0, f(x_0))$,
32. Κατακόρυφη ασύμπτωτη
Πότε μια ευθεία $x=x_0$ λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f;
Η ευθεία $x=x_0$ λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της $C_f$ αν ένα τουλάχιστον από τα όρια $\lim_{x\to x_0^-}f(x)$, $\lim_{x\to x_0^+}f(x)$ είναι $+\infty$ ή $-\infty$.
33. Οριζόντια ασύμπτωτη
Πότε μια ευθεία $y=l$ λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της $C_f$ στο $+\infty$ (αντιστοίχως στο $-\infty$);
Η ευθεία $y=l$ λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$ (αντιστοίχως $-\infty$) αν $\lim_{x\to +\infty}f(x)=l$ (αντιστοίχως $\lim_{x\to -\infty}f(x)=l$).
34. Πλάγια ασύμπτωτη
Πότε μια ευθεία $y=λx+β$ λέγεται ασύμπτωτη της $C_f$ στο $+\infty$ (αντιστοίχως στο $-\infty$);
Η ευθεία $y=λx+β$ λέγεται ασύμπτωτη στο $+\infty$ αν $\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(λx+β)]=0$. Ανάλογα στο $-\infty$.
35. Εύρεση πλάγιας ασύμπτωτης
Με ποιους τύπους βρίσκουμε τις ασύμπτωτες της μορφής $y=λx+β$; Ποιες συναρτήσεις αποκλείεται να έχουν ασύμπτωτες;
$λ=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}$, $\;β=\lim_{x\to +\infty}(f(x)-λx)$ (στο $+\infty$).
Ανάλογα για $-\infty$.
Ανάλογα για $-\infty$.
Χρήσιμα:
• Πολυωνυμικές βαθμού ≥2 δεν έχουν ασύμπτωτες.
• Ρητές με βαθμό αριθμητή ≥ βαθμό παρονομαστή +2 δεν έχουν πλάγιες.
• Αναζητούμε ασύμπτωτες στα άκρα διαστημάτων όπου η $f$ δεν ορίζεται, σε σημεία ασυνέχειας, και στο $±\infty$.
• Πολυωνυμικές βαθμού ≥2 δεν έχουν ασύμπτωτες.
• Ρητές με βαθμό αριθμητή ≥ βαθμό παρονομαστή +2 δεν έχουν πλάγιες.
• Αναζητούμε ασύμπτωτες στα άκρα διαστημάτων όπου η $f$ δεν ορίζεται, σε σημεία ασυνέχειας, και στο $±\infty$.
36. Κανόνες de L'Hospital
Να διατυπώσετε τους δύο κανόνες de L'Hospital για τον υπολογισμό ορίων. Σε ποιες απροσδιόριστες μορφές εφαρμόζονται;
1ος κανόνας (μορφή $0/0$):
Αν $\lim_{x\to x_0}f(x)=0$, $\lim_{x\to x_0}g(x)=0$, υπάρχουν $f',g'$ κοντά στο $x_0$ με $g'(x)\neq0$ και υπάρχει το $\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$, τότε $\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$.
Αν $\lim_{x\to x_0}f(x)=0$, $\lim_{x\to x_0}g(x)=0$, υπάρχουν $f',g'$ κοντά στο $x_0$ με $g'(x)\neq0$ και υπάρχει το $\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$, τότε $\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$.
2ος κανόνας (μορφή $\infty/\infty$):
Αν $\lim_{x\to x_0}|f(x)|=+\infty$, $\lim_{x\to x_0}|g(x)|=+\infty$, υπάρχουν $f',g'$ κοντά στο $x_0$ με $g'(x)\neq0$ και υπάρχει το $\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$, τότε $\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$.
Αν $\lim_{x\to x_0}|f(x)|=+\infty$, $\lim_{x\to x_0}|g(x)|=+\infty$, υπάρχουν $f',g'$ κοντά στο $x_0$ με $g'(x)\neq0$ και υπάρχει το $\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$, τότε $\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$.
Ισχύουν και για πλευρικά όρια και για $x\to \pm\infty$. Μπορούμε να εφαρμόζουμε διαδοχικά.