∫ Ε. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Αρχική συνάρτηση • Ορισμένο ολοκλήρωμα • Θεμελιώδες θεώρημα • Εμβαδά
1. Αρχική συνάρτηση
Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης f σε διάστημα Δ;
Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα
Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της $f$ στο διάστημα $Δ$ ονομάζουμε κάθε συνάρτηση $F$ που είναι παραγωγίσιμη στο $Δ$ και ισχύει: $$F'(x) = f(x), \quad \text{για κάθε } x \in Δ$$
Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της $f$ στο διάστημα $Δ$ ονομάζουμε κάθε συνάρτηση $F$ που είναι παραγωγίσιμη στο $Δ$ και ισχύει: $$F'(x) = f(x), \quad \text{για κάθε } x \in Δ$$
2. Θεώρημα
Απόδειξη για τη μορφή όλων των παραγουσών
Θεώρημα
Έστω $f$ μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα $Δ$. Αν $F$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $Δ$, τότε:
Έστω $f$ μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα $Δ$. Αν $F$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $Δ$, τότε:
- Όλες οι συναρτήσεις της μορφής $F(x) + c$, $c \in \mathbb{R}$, είναι παράγουσες της $f$ στο $Δ$.
- Κάθε άλλη παράγουσα $G$ της $f$ στο $Δ$ παίρνει τη μορφή $G(x) = F(x) + c$, $c \in \mathbb{R}$.
Απόδειξη:
• Πρώτο μέρος: Κάθε συνάρτηση της μορφής $F(x) + c$, όπου $c \in \mathbb{R}$, είναι μια παράγουσα της $f$ στο $Δ$, αφού $(F(x) + c)' = F'(x) = f(x)$, για κάθε $x \in Δ$.
• Δεύτερο μέρος: Έστω $G$ είναι μια άλλη παράγουσα της $f$ στο $Δ$. Τότε, για κάθε $x \in Δ$ ισχύουν οι σχέσεις $F'(x) = f(x)$ και $G'(x) = f(x)$, οπότε: $$(G(x) - F(x))' = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0, \quad \text{για κάθε } x \in Δ$$ Άρα υπάρχει σταθερά $c$ τέτοια, ώστε $G(x) - F(x) = c$, για κάθε $x \in Δ$, δηλαδή $G(x) = F(x) + c$.
• Πρώτο μέρος: Κάθε συνάρτηση της μορφής $F(x) + c$, όπου $c \in \mathbb{R}$, είναι μια παράγουσα της $f$ στο $Δ$, αφού $(F(x) + c)' = F'(x) = f(x)$, για κάθε $x \in Δ$.
• Δεύτερο μέρος: Έστω $G$ είναι μια άλλη παράγουσα της $f$ στο $Δ$. Τότε, για κάθε $x \in Δ$ ισχύουν οι σχέσεις $F'(x) = f(x)$ και $G'(x) = f(x)$, οπότε: $$(G(x) - F(x))' = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0, \quad \text{για κάθε } x \in Δ$$ Άρα υπάρχει σταθερά $c$ τέτοια, ώστε $G(x) - F(x) = c$, για κάθε $x \in Δ$, δηλαδή $G(x) = F(x) + c$.
3. Πίνακας παραγουσών
Παράγουσες βασικών συναρτήσεων
| Α/Α | Συνάρτηση $f(x)$ | Παράγουσες $F(x)$ |
|---|---|---|
| 1 | $0$ | $c$ |
| 2 | $1$ | $x + c$ |
| 3 | $x^a$, $a \neq -1$ | $\frac{x^{a+1}}{a+1} + c$ |
| 4 | $\frac{1}{x}$ | $\ln|x| + c$ |
| 5 | $e^x$ | $e^x + c$ |
| 6 | $a^x$, $a>0$, $a\neq1$ | $\frac{a^x}{\ln a} + c$ |
| 7 | $\eta\mu x$ | $-\sigma\upsilon\nu x + c$ |
| 8 | $\sigma\upsilon\nu x$ | $\eta\mu x + c$ |
| 9 | $\frac{1}{\sigma\upsilon\nu^2 x}$ | $\varepsilon\varphi x + c$ |
| 10 | $\frac{1}{\eta\mu^2 x}$ | $- \sigma\varphi x + c$ |
Σχόλια:
α) Οι τύποι του πίνακα αυτού ισχύουν σε κάθε διάστημα στο οποίο οι παραστάσεις του $x$ που εμφανίζονται έχουν νόημα.
β) Αν οι συναρτήσεις $F$ και $G$ είναι παράγουσες των $f$ και $g$ αντιστοίχως και $λ \in \mathbb{R}$, τότε:
i) Η $F + G$ είναι μια παράγουσα της $f + g$
ii) Η $λF$ είναι μια παράγουσα της $λf$.
α) Οι τύποι του πίνακα αυτού ισχύουν σε κάθε διάστημα στο οποίο οι παραστάσεις του $x$ που εμφανίζονται έχουν νόημα.
β) Αν οι συναρτήσεις $F$ και $G$ είναι παράγουσες των $f$ και $g$ αντιστοίχως και $λ \in \mathbb{R}$, τότε:
i) Η $F + G$ είναι μια παράγουσα της $f + g$
ii) Η $λF$ είναι μια παράγουσα της $λf$.
4. Ορισμένο ολοκλήρωμα
Ορισμός για συνεχή συνάρτηση σε $[α,β]$
Ορισμός
Έστω μια συνάρτηση $f$ συνεχής στο $[α,β]$. Με τα σημεία $α = x_0 < x_1 < \cdots < x_\nu = β$ χωρίζουμε το διάστημα $[α,β]$ σε $\nu$ ισομήκη υποδιαστήματα μήκους $\Delta x = \frac{β-α}{\nu}$. Στη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα $\xi_k \in [x_{k-1}, x_k]$, για κάθε $k = 1,2,\dots,\nu$, και σχηματίζουμε το άθροισμα: $$S_\nu = f(\xi_1)\Delta x + f(\xi_2)\Delta x + \cdots + f(\xi_\nu)\Delta x = \sum_{k=1}^\nu f(\xi_k)\Delta x$$ Το όριο του αθροίσματος $S_\nu$, δηλαδή το $\displaystyle \lim_{\nu \to +\infty} S_\nu$ υπάρχει στο $\mathbb{R}$ και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των $\xi_k$. Το παραπάνω όριο ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης $f$ από το $α$ στο $β$, συμβολίζεται με $\int_a^β f(x)\,dx$ και διαβάζεται "ολοκλήρωμα της $f$ από το $α$ στο $β$". Δηλαδή: $$\int_a^β f(x)\,dx = \lim_{\nu \to +\infty} \sum_{k=1}^\nu f(\xi_k)\Delta x$$
Έστω μια συνάρτηση $f$ συνεχής στο $[α,β]$. Με τα σημεία $α = x_0 < x_1 < \cdots < x_\nu = β$ χωρίζουμε το διάστημα $[α,β]$ σε $\nu$ ισομήκη υποδιαστήματα μήκους $\Delta x = \frac{β-α}{\nu}$. Στη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα $\xi_k \in [x_{k-1}, x_k]$, για κάθε $k = 1,2,\dots,\nu$, και σχηματίζουμε το άθροισμα: $$S_\nu = f(\xi_1)\Delta x + f(\xi_2)\Delta x + \cdots + f(\xi_\nu)\Delta x = \sum_{k=1}^\nu f(\xi_k)\Delta x$$ Το όριο του αθροίσματος $S_\nu$, δηλαδή το $\displaystyle \lim_{\nu \to +\infty} S_\nu$ υπάρχει στο $\mathbb{R}$ και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των $\xi_k$. Το παραπάνω όριο ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης $f$ από το $α$ στο $β$, συμβολίζεται με $\int_a^β f(x)\,dx$ και διαβάζεται "ολοκλήρωμα της $f$ από το $α$ στο $β$". Δηλαδή: $$\int_a^β f(x)\,dx = \lim_{\nu \to +\infty} \sum_{k=1}^\nu f(\xi_k)\Delta x$$
Σχήμα 11: Γεωμετρική ερμηνεία ορισμένου ολοκληρώματος
Σχόλιο:
Το σύμβολο $\int$ οφείλεται στον Leibniz και είναι επιμήκυνση του γράμματος S της λέξης Summa (άθροισμα). Οι αριθμοί $α$ και $β$ ονομάζονται όρια της ολοκλήρωσης (δεν έχουν σχέση με τα όρια του 2ου κεφαλαίου). Το $\int_a^β f(x)\,dx$ είναι πραγματικός αριθμός, σε αντίθεση με το $\int f(x)\,dx$ που είναι σύνολο συναρτήσεων.
Το σύμβολο $\int$ οφείλεται στον Leibniz και είναι επιμήκυνση του γράμματος S της λέξης Summa (άθροισμα). Οι αριθμοί $α$ και $β$ ονομάζονται όρια της ολοκλήρωσης (δεν έχουν σχέση με τα όρια του 2ου κεφαλαίου). Το $\int_a^β f(x)\,dx$ είναι πραγματικός αριθμός, σε αντίθεση με το $\int f(x)\,dx$ που είναι σύνολο συναρτήσεων.
Γεωμετρική ερμηνεία
Αν $f(x) \geq 0$ για κάθε $x \in [α,β]$, τότε το ολοκλήρωμα $\int_a^β f(x)\,dx$ δίνει το εμβαδόν $E(Ω)$ του χωρίου $Ω$ που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$, τον άξονα $x'x$ και τις ευθείες $x=α$ και $x=β$.
Αν $f(x) \geq 0$ για κάθε $x \in [α,β]$, τότε το ολοκλήρωμα $\int_a^β f(x)\,dx$ δίνει το εμβαδόν $E(Ω)$ του χωρίου $Ω$ που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$, τον άξονα $x'x$ και τις ευθείες $x=α$ και $x=β$.
5. Ιδιότητες ολοκληρώματος
$\int_a^β f(x)\,dx$
α) Βασικές ιδιότητες
• $\int_a^a f(x)\,dx = 0$
• $\int_a^β f(x)\,dx = -\int_β^a f(x)\,dx$
• Αν $f(x) \geq 0$ για κάθε $x \in [α,β]$, τότε $\int_a^β f(x)\,dx \geq 0$
• $\int_a^a f(x)\,dx = 0$
• $\int_a^β f(x)\,dx = -\int_β^a f(x)\,dx$
• Αν $f(x) \geq 0$ για κάθε $x \in [α,β]$, τότε $\int_a^β f(x)\,dx \geq 0$
β) Ιδιότητες για συνεχείς συναρτήσεις
Έστω $f,g$ συνεχείς στο $[α,β]$ και $λ,μ \in \mathbb{R}$. Τότε:
• $\int_a^β (f(x) + g(x))\,dx = \int_a^β f(x)\,dx + \int_a^β g(x)\,dx$
• $\int_a^β λf(x)\,dx = λ\int_a^β f(x)\,dx$
• $\int_a^β (λf(x) + μg(x))\,dx = λ\int_a^β f(x)\,dx + μ\int_a^β g(x)\,dx$
Έστω $f,g$ συνεχείς στο $[α,β]$ και $λ,μ \in \mathbb{R}$. Τότε:
• $\int_a^β (f(x) + g(x))\,dx = \int_a^β f(x)\,dx + \int_a^β g(x)\,dx$
• $\int_a^β λf(x)\,dx = λ\int_a^β f(x)\,dx$
• $\int_a^β (λf(x) + μg(x))\,dx = λ\int_a^β f(x)\,dx + μ\int_a^β g(x)\,dx$
γ) Διαμερισμός διαστήματος
Αν $f$ συνεχής σε διάστημα $Δ$ και $α,β,γ \in Δ$, τότε: $$\int_a^β f(x)\,dx = \int_a^γ f(x)\,dx + \int_γ^β f(x)\,dx$$
Αν $f$ συνεχής σε διάστημα $Δ$ και $α,β,γ \in Δ$, τότε: $$\int_a^β f(x)\,dx = \int_a^γ f(x)\,dx + \int_γ^β f(x)\,dx$$
Σχήμα 13: Γεωμετρική ερμηνεία της ιδιότητας $\int_a^β f = \int_a^γ f + \int_γ^β f$
δ) Θετική συνάρτηση μη παντού μηδέν
Έστω $f$ συνεχής στο $[α,β]$. Αν $f(x) \geq 0$ για κάθε $x \in [α,β]$ και η $f$ δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε: $$\int_a^β f(x)\,dx > 0$$
Έστω $f$ συνεχής στο $[α,β]$. Αν $f(x) \geq 0$ για κάθε $x \in [α,β]$ και η $f$ δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε: $$\int_a^β f(x)\,dx > 0$$
6. Συνάρτηση $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$
Σχέση με τη συνάρτηση $f$
Θεμελιώδες θεώρημα (μέρος Α')
Έστω $f$ συνεχής συνάρτηση στο διάστημα $Δ$ και $α \in Δ$. Η συνάρτηση $$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt, \quad x \in Δ$$ είναι συνεχής και είναι μια παράγουσα της $f$ στο $Δ$, δηλαδή ισχύει: $$F'(x) = f(x), \quad \text{για κάθε } x \in Δ$$
Έστω $f$ συνεχής συνάρτηση στο διάστημα $Δ$ και $α \in Δ$. Η συνάρτηση $$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt, \quad x \in Δ$$ είναι συνεχής και είναι μια παράγουσα της $f$ στο $Δ$, δηλαδή ισχύει: $$F'(x) = f(x), \quad \text{για κάθε } x \in Δ$$
7. Θεμελιώδες θεώρημα
$\int_a^β f(x)\,dx = G(β) - G(α)$
Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού
Έστω $f$ μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα $[α,β]$. Αν $G$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $[α,β]$, τότε: $$\int_a^β f(x)\,dx = G(β) - G(α)$$
Έστω $f$ μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα $[α,β]$. Αν $G$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $[α,β]$, τότε: $$\int_a^β f(x)\,dx = G(β) - G(α)$$
Απόδειξη:
Σύμφωνα με γνωστό θεώρημα, η συνάρτηση $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $[α,β]$. Επειδή και η $G$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $[α,β]$, θα υπάρχει $c \in \mathbb{R}$ τέτοιο, ώστε: $$G(x) = F(x) + c \quad (1)$$ Από την (1), για $x = α$, έχουμε $G(α) = F(α) + c$, οπότε $G(α) = \int_a^a f(t)\,dt + c = c$. Επομένως, $c = G(α)$. $$G(x) = F(x) + G(α) \Rightarrow F(x) = G(x) - G(α)$$ οπότε, για $x = β$, έχουμε $F(β) = G(β) - G(α)$ και άρα: $$\int_a^β f(t)\,dt = G(β) - G(α)$$
Σύμφωνα με γνωστό θεώρημα, η συνάρτηση $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $[α,β]$. Επειδή και η $G$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $[α,β]$, θα υπάρχει $c \in \mathbb{R}$ τέτοιο, ώστε: $$G(x) = F(x) + c \quad (1)$$ Από την (1), για $x = α$, έχουμε $G(α) = F(α) + c$, οπότε $G(α) = \int_a^a f(t)\,dt + c = c$. Επομένως, $c = G(α)$. $$G(x) = F(x) + G(α) \Rightarrow F(x) = G(x) - G(α)$$ οπότε, για $x = β$, έχουμε $F(β) = G(β) - G(α)$ και άρα: $$\int_a^β f(t)\,dt = G(β) - G(α)$$
8. Τεχνικές ολοκλήρωσης
Παραγοντική & αντικατάσταση
α) Παραγοντική ολοκλήρωση
$$\int_a^β f(x)g'(x)\,dx = \big[f(x)g(x)\big]_a^β - \int_a^β f'(x)g(x)\,dx$$ όπου $f,g$ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο $[α,β]$.
$$\int_a^β f(x)g'(x)\,dx = \big[f(x)g(x)\big]_a^β - \int_a^β f'(x)g(x)\,dx$$ όπου $f,g$ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο $[α,β]$.
β) Ολοκλήρωση με αντικατάσταση
$$\int_a^β f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(α)}^{g(β)} f(u)\,du$$ όπου $f,g$ είναι συνεχείς συναρτήσεις, $u = g(x)$, $du = g'(x)dx$ και $g(α)$, $g(β)$ τα νέα όρια.
$$\int_a^β f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(α)}^{g(β)} f(u)\,du$$ όπου $f,g$ είναι συνεχείς συναρτήσεις, $u = g(x)$, $du = g'(x)dx$ και $g(α)$, $g(β)$ τα νέα όρια.
9. Εμβαδόν (f ≥ 0)
Τύπος για $f(x) \geq 0$
Αν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής σε ένα διάστημα $[α,β]$ και $f(x) \geq 0$ για κάθε $x \in [α,β]$, τότε το εμβαδόν του χωρίου $Ω$ που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της $f$, τις ευθείες $x=α$, $x=β$ και τον άξονα $x'x$ είναι:
$$E(Ω) = \int_a^β f(x)\,dx$$
Σχήμα 14: Εμβαδόν χωρίου για $f(x) \geq 0$
10. Εμβαδόν μεταξύ $C_f$, $C_g$
Με $f(x) \geq g(x)$
Έστω δύο συνεχείς συναρτήσεις $f$ και $g$ στο $[α,β]$ με $f(x) \geq g(x)$ για κάθε $x \in [α,β]$. Το εμβαδόν του χωρίου $Ω$ που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των $f,g$ και τις ευθείες $x=α$, $x=β$ είναι:
$$E(Ω) = \int_a^β (f(x) - g(x))\,dx$$
Σχήμα 18α: Εμβαδόν χωρίου που περικλείεται από $C_f$ και $C_g$ με $f(x) \geq g(x)$
11. Απόδειξη τύπου $E = \int |f(x)-g(x)|\,dx$
Για $f(x) \geq g(x)$ στο $[α,β]$
Απόδειξη:
Επειδή οι συναρτήσεις $f,g$ είναι συνεχείς στο $[α,β]$, θα υπάρχει αριθμός $c \in \mathbb{R}$ τέτοιος, ώστε $f(x) + c \geq 0$ και $g(x) + c \geq 0$, για κάθε $x \in [α,β]$. Είναι φανερό ότι το χωρίο $Ω$ έχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο $Ω'$ που περικλείεται από τις $f+c$ και $g+c$. Επομένως: $$E(Ω) = \int_a^β (f(x)+c)\,dx - \int_a^β (g(x)+c)\,dx = \int_a^β (f(x)-g(x))\,dx$$ Άρα $E(Ω) = \int_a^β (f(x)-g(x))\,dx$.
Επειδή οι συναρτήσεις $f,g$ είναι συνεχείς στο $[α,β]$, θα υπάρχει αριθμός $c \in \mathbb{R}$ τέτοιος, ώστε $f(x) + c \geq 0$ και $g(x) + c \geq 0$, για κάθε $x \in [α,β]$. Είναι φανερό ότι το χωρίο $Ω$ έχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο $Ω'$ που περικλείεται από τις $f+c$ και $g+c$. Επομένως: $$E(Ω) = \int_a^β (f(x)+c)\,dx - \int_a^β (g(x)+c)\,dx = \int_a^β (f(x)-g(x))\,dx$$ Άρα $E(Ω) = \int_a^β (f(x)-g(x))\,dx$.
Σχήμα 20α: Αρχικές καμπύλες $f$ και $g$
Σχήμα 20β: Μετατοπισμένες καμπύλες $f+c$ και $g+c$
12. Εμβαδόν (με εναλλαγή προσήμου)
Όταν $f-g$ αλλάζει πρόσημο
Όταν η διαφορά $f(x)-g(x)$ δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο $[α,β]$, τότε το εμβαδόν του χωρίου $Ω$ που περικλείεται από τις $C_f$, $C_g$ και τις ευθείες $x=α$, $x=β$ είναι:
$$E(Ω) = \int_a^β |f(x)-g(x)|\,dx$$
Απόδειξη:
Αν η διαφορά $f(x)-g(x)$ δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο $[α,β]$, τότε το εμβαδόν είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των επί μέρους χωρίων όπου η διαφορά διατηρεί πρόσημο. Δηλαδή: $$E(Ω) = \int_a^{γ_1} (g(x)-f(x))\,dx + \int_{γ_1}^{γ_2} (f(x)-g(x))\,dx + \cdots = \int_a^β |f(x)-g(x)|\,dx$$ όπου $γ_1,γ_2,\dots$ τα σημεία όπου $f(x)=g(x)$.
Αν η διαφορά $f(x)-g(x)$ δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο $[α,β]$, τότε το εμβαδόν είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των επί μέρους χωρίων όπου η διαφορά διατηρεί πρόσημο. Δηλαδή: $$E(Ω) = \int_a^{γ_1} (g(x)-f(x))\,dx + \int_{γ_1}^{γ_2} (f(x)-g(x))\,dx + \cdots = \int_a^β |f(x)-g(x)|\,dx$$ όπου $γ_1,γ_2,\dots$ τα σημεία όπου $f(x)=g(x)$.
Σχήμα 23: Όταν η $f-g$ αλλάζει πρόσημο, το εμβαδόν υπολογίζεται με $|f(x)-g(x)|$
Σχήμα 25: Το $\int_a^β f(x)\,dx$ ισούται με άθροισμα θετικών εμβαδών μείον αρνητικών
Σχόλιο:
Το $\int_a^β f(x)\,dx$ είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων πάνω από τον άξονα $x'x$ μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων κάτω από τον άξονα $x'x$.
Το $\int_a^β f(x)\,dx$ είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων πάνω από τον άξονα $x'x$ μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων κάτω από τον άξονα $x'x$.
13. Εμβαδόν για $g(x) \leq 0$
Απόδειξη τύπου $E(\Omega) = -\int_{\alpha}^{\beta} g(x)dx$
Θεώρημα
Το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τον άξονα $x'x$, τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $g$, με $g(x) \leq 0$ για κάθε $x \in [\alpha, \beta]$ και τις ευθείες $x = \alpha$ και $x = \beta$ είναι ίσο με: $$E(\Omega) = -\int_{\alpha}^{\beta} g(x)\,dx$$
Το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τον άξονα $x'x$, τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $g$, με $g(x) \leq 0$ για κάθε $x \in [\alpha, \beta]$ και τις ευθείες $x = \alpha$ και $x = \beta$ είναι ίσο με: $$E(\Omega) = -\int_{\alpha}^{\beta} g(x)\,dx$$
Απόδειξη:
Πράγματι, επειδή ο άξονας $x'x$ είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x) = 0$, έχουμε: $$E(\Omega) = \int_{\alpha}^{\beta} (f(x) - g(x))\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} [-g(x)]\,dx = -\int_{\alpha}^{\beta} g(x)\,dx.$$
Επομένως, αν για μια συνάρτηση $g$ ισχύει $g(x) \leq 0$ για κάθε $x \in [\alpha, \beta]$, τότε: $$E(\Omega) = -\int_{\alpha}^{\beta} g(x)\,dx$$
Πράγματι, επειδή ο άξονας $x'x$ είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x) = 0$, έχουμε: $$E(\Omega) = \int_{\alpha}^{\beta} (f(x) - g(x))\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} [-g(x)]\,dx = -\int_{\alpha}^{\beta} g(x)\,dx.$$
Επομένως, αν για μια συνάρτηση $g$ ισχύει $g(x) \leq 0$ για κάθε $x \in [\alpha, \beta]$, τότε: $$E(\Omega) = -\int_{\alpha}^{\beta} g(x)\,dx$$
Σχήμα: Χωρίο Ω κάτω από τον άξονα $x'x$ για $g(x) \leq 0$
Σχόλιο:
Ο τύπος αυτός είναι ιδιαίτερα χρήσιμος όταν η συνάρτηση βρίσκεται κάτω από τον άξονα $x'x$, οπότε το ολοκλήρωμα δίνει αρνητική τιμή και προσθέτουμε το αρνητικό πρόσημο για να πάρουμε θετικό εμβαδόν.
Ο τύπος αυτός είναι ιδιαίτερα χρήσιμος όταν η συνάρτηση βρίσκεται κάτω από τον άξονα $x'x$, οπότε το ολοκλήρωμα δίνει αρνητική τιμή και προσθέτουμε το αρνητικό πρόσημο για να πάρουμε θετικό εμβαδόν.