📚 Ερωτήσεις Ανάπτυξης — Όρια Συναρτήσεων

α) Η $f$ είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής $(\alpha, x_0) \cup (x_0, \beta)$ και στο σύνολο αυτό έχει την ιδιότητα $P$.

β) Η $f$ είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής $(x_0, \beta)$, έχει σ' αυτό την ιδιότητα $P$, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής $(\alpha, x_0)$.

γ) Η $f$ είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής $(\alpha, x_0)$, έχει σ' αυτό την ιδιότητα $P$, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής $(x_0, \beta)$.

• Αν $\lim_{x \to x_0} f(x) = l > 0$, τότε $f(x) > 0$ κοντά στο $x_0$.
• Αν $\lim_{x \to x_0} f(x) = l < 0$, τότε $f(x) < 0$ κοντά στο $x_0$.

Αν οι συναρτήσεις $f, g$ έχουν όριο στο $x_0$ και ισχύει $f(x) \leq g(x)$ κοντά στο $x_0$, τότε:

1. $\lim_{x \to x_0} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) \pm \lim_{x \to x_0} g(x)$

2. $\lim_{x \to x_0} [c \cdot f(x)] = c \cdot \lim_{x \to x_0} f(x)$, για κάθε σταθερά $c \in \mathbb{R}$

3. $\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x)$
(ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις)

4. $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)}$, εφόσον $\lim_{x \to x_0} g(x) \neq 0$

5. $\lim_{x \to x_0} \sqrt{f(x)} = \sqrt{\lim_{x \to x_0} f(x)}$, εφόσον $\lim_{x \to x_0} f(x) \geq 0$

6. $\lim_{x \to x_0} |f(x)| = \left| \lim_{x \to x_0} f(x) \right|$

• Έστω το πολυώνυμο $P(x) = \alpha_\nu x^\nu + \alpha_{\nu-1} x^{\nu-1} + \dots + \alpha_1 x + \alpha_0$ και $x_0 \in \mathbb{R}$, τότε:
• Έστω η ρητή συνάρτηση $\rho(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, όπου $P(x), Q(x)$ πολυώνυμα του $x$ και $x_0 \in \mathbb{R}$ με $Q(x_0) \neq 0$. Θα είναι τότε:

Έστω οι συναρτήσεις $f, g, h$. Αν:
$f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ κοντά στο $x_0$ και $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = l$,
τότε:

• $|\,\text{ημ}\,x| \leq |x|$, για κάθε $x \in \mathbb{R}$. Η ισότητα ισχύει μόνο όταν $x = 0$.

• $\lim_{x \to x_0} \text{ημ}\,x = \text{ημ}\,x_0$

• $\lim_{x \to 0} \frac{\text{ημ}\,x}{x} = 1$

• $\lim_{x \to x_0} \text{συν}\,x = \text{συν}\,x_0$

• $\lim_{x \to 0} \frac{\text{συν}\,x - 1}{x} = 0$

1. Θέτουμε $u = f(x)$.

2. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το $\lim_{x \to x_0} f(x) = l$.

3. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το $\lim_{u \to l} g(u)$.

α) \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty \]

β) \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty \]

γ) Αν $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$, τότε $f(x) > 0$ κοντά στο $x_0$, ενώ αν $\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$, τότε $f(x) < 0$ κοντά στο $x_0$.

δ) Αν $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$, τότε $\lim_{x \to x_0} (-f(x)) = -\infty$, ενώ αν $\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$, τότε $\lim_{x \to x_0} (-f(x)) = +\infty$.

ε) Αν $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$ ή $-\infty$, τότε $\lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = 0$.

στ) Αν $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$ και $f(x) > 0$ κοντά στο $x_0$, τότε $\lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = +\infty$, ενώ αν $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$ και $f(x) < 0$ κοντά στο $x_0$, τότε $\lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = -\infty$.

ζ) Αν $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$ ή $-\infty$, τότε $\lim_{x \to x_0} |f(x)| = +\infty$.

η) Αν $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$, τότε $\lim_{x \to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = +\infty$.

θ)
i) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$ και γενικά $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2ν}} = +\infty$, $\nu \in \mathbb{N}^*$.
ii) $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^{2ν+1}} = +\infty$, $\nu \in \mathbb{N}$ και $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^{2ν+1}} = -\infty$, $\nu \in \mathbb{N}$.

ι) Για το άθροισμα και το γινόμενο ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα:

α) Για τον υπολογισμό του ορίου στο $+\infty$ ή $-\infty$ ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων χρειαζόμαστε τα παρακάτω βασικά όρια:

• $\lim_{x \to +\infty} x^\nu = +\infty$ και $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^\nu} = 0$, $\nu \in \mathbb{N}^*$

• $\lim_{x \to +\infty} x^\nu = \begin{cases} +\infty, & \text{αν } \nu \text{ άρτιος} \\ -\infty, & \text{αν } \nu \text{ περιττός} \end{cases}$ και $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^\nu} = 0$, $\nu \in \mathbb{N}^*$

β) Για την πολυωνυμική συνάρτηση $P(x) = \alpha_\nu x^\nu + \alpha_{\nu-1} x^{\nu-1} + \dots + \alpha_0$, με $\alpha_\nu \neq 0$ ισχύει:

$\lim_{x \to +\infty} P(x) = \lim_{x \to +\infty} (\alpha_\nu x^\nu)$ και $\lim_{x \to -\infty} P(x) = \lim_{x \to -\infty} (\alpha_\nu x^\nu)$

γ) Για τη ρητή συνάρτηση $f(x) = \frac{\alpha_\nu x^\nu + \alpha_{\nu-1} x^{\nu-1} + \dots + \alpha_1 x + \alpha_0}{\beta_\nu x^\nu + \beta_{\nu-1} x^{\nu-1} + \dots + \beta_1 x + \beta_0}$, $\alpha_\nu \neq 0$, $\beta_\nu \neq 0$ ισχύει:

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{\alpha_\nu x^\nu}{\beta_\nu x^\nu} \right)$ και $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left( \frac{\alpha_\nu x^\nu}{\beta_\nu x^\nu} \right)$

δ) Για το όριο εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης ισχύει ότι:

• Αν $\alpha > 1$, τότε:
$\lim_{x \to +\infty} \alpha^x = +\infty$, $\quad \lim_{x \to +\infty} \log_\alpha x = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} \alpha^x = 0$, $\quad \lim_{x \to 0^+} \log_\alpha x = -\infty$

• Αν $0 < \alpha < 1$, τότε:
$\lim_{x \to +\infty} \alpha^x = 0$, $\quad \lim_{x \to +\infty} \log_\alpha x = -\infty$
$\lim_{x \to -\infty} \alpha^x = +\infty$, $\quad \lim_{x \to 0^+} \log_\alpha x = +\infty$