Ερώτηση 1
Τι ονομάζουμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α;
▶ Εμφάνιση απάντησης
Έστω Α ένα υποσύνολο του ℝ. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μία διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο x ∈ Α αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y.
Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x).
Σχόλια:
- Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: y = f(x), x ∈ A
- Το γράμμα x που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή
- Το γράμμα y που παριστάνει την τιμή της f στο x, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή
- Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f συνήθως συμβολίζεται με D_f
Ερώτηση 2
Τι λέμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f;
▶ Εμφάνιση απάντησης
Σύνολο τιμών: Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα x ∈ A. Είναι δηλαδή:
f(A) = { y ∈ ℝ | y = f(x) για κάποιο x ∈ A }
Το σύνολο τιμών της f συμβολίζεται με f(A).
Σημαντική Παρατήρηση: Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι πάντα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών ℝ, αλλά μπορεί να μην είναι όλο το ℝ. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = x² έχει σύνολο τιμών το [0, +∞).
Ερώτηση 3
Τι εννοούμε όταν λέμε ότι «Η συνάρτηση f είναι ορισμένη σ' ένα σύνολο Β»;
▶ Εμφάνιση απάντησης
Ορισμένη σε σύνολο Β: Εννοούμε ότι το σύνολο Β είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της f και το σύνολο τιμών της f(B) είναι:
f(B) = { y ∈ ℝ | y = f(x) για κάποιο x ∈ B }
Ερώτηση 4
Τι λέμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f;
▶ Εμφάνιση απάντησης
Γραφική παράσταση της f λέμε το σύνολο των σημείων M(x, y) για τα οποία ισχύει y = f(x), δηλαδή το σύνολο των σημείων M(x, f(x)), με x ∈ A.
Σημαντικές ιδιότητες:
- Η γραφική παράσταση της f συμβολίζεται με C_f
- Η εξίσωση y = f(x) επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της C_f
- Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη C_f σε το πολύ ένα σημείο (διότι κάθε x αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο y)
Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C_f μιας συνάρτησης f, τότε:
- Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C_f
- Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f(A) των τεταγμένων των σημείων της C_f
- Η τιμή της f στο x₀ είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας x = x₀ και της C_f
Κατακόρυφη Δοκιμή (Vertical Line Test): Αυτή είναι μια γεωμετρική μέθοδος για να προσδιορίσουμε αν μια γραφική παράσταση αντιστοιχεί σε συνάρτηση. Αν υπάρχει κάποια κατακόρυφη ευθεία που τέμνει τη γραφική παράσταση σε περισσότερα από ένα σημεία, τότε αυτή ΔΕΝ αντιπροσωπεύει συνάρτηση.
Σχήμα 7α & 7β: Κατακόρυφη δοκιμή
Σχ. 7α: Η κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση σε 1 σημείο → Είναι συνάρτηση
Σχ. 7β: Η κατακόρυφη ευθεία τέμνει τον κύκλο σε 2 σημεία → Δεν είναι συνάρτηση
Γιατί ο κύκλος δεν είναι συνάρτηση; Για μια δεδομένη τιμή x (π.χ. x=0), ένας κύκλος με ακτίνα r έχει δύο σημεία: (0, r) και (0, -r). Αυτό παραβιάζει τον ορισμό της συνάρτησης, γιατί ένα x αντιστοιχίζεται σε δύο διαφορετικές τιμές y.
Σχήμα 8: Εύρεση τιμής f(x₀)
Σχ. 8: Η τιμή f(x₀) βρίσκεται ως η τεταγμένη του σημείου τομής της κατακόρυφης ευθείας x = x₀ με τη γραφική παράσταση C_f
Σχήμα 9 & 10: Μετασχηματισμοί γραφικών παραστάσεων
Σχ. 9: Γραφική παράσταση της -f (συμμετρική της f ως προς τον άξονα x'x)
Σχ. 10: Γραφική παράσταση της |f| (τα τμήματα κάτω από τον άξονα αντικατοπτρίζονται)
Διαφορά μεταξύ f(x) και |f(x)|: Η γραφική παράσταση της |f(x)| προκύπτει από αυτήν της f(x) αντιστρέφοντας τα τμήματα που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x προς τα πάνω (συμμετρικά ως προς τον άξονα x). Αυτό διασφαλίζει ότι όλες οι τιμές της |f(x)| είναι μη αρνητικές.
Ερώτηση 5
Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων:
α) f(x) = αx² β) f(x) = αx³ γ) f(x) = √x και f(x) = √|x| δ) f(x) = α/x ε) f(x) = ημx,συνx,εφx
α) f(x) = αx² β) f(x) = αx³ γ) f(x) = √x και f(x) = √|x| δ) f(x) = α/x ε) f(x) = ημx,συνx,εφx
▶ Εμφάνιση απάντησης
f(x) = αx² - Παραβολή
f(x) = αx³ - Κυβική συνάρτηση
f(x) = √x - Τετραγωνική ρίζα
f(x) = α/x - Υπερβολή
Παρατηρήσεις για τις βασικές συναρτήσεις:
- Παραβολή (f(x)=x²): Έχει ελάχιστο στο x=0, είναι άρτια και συμμετρική ως προς τον άξονα y.
- Κυβική (f(x)=x³): Είναι περιττή και συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.
- Τετραγωνική ρίζα (f(x)=√x): Ορίζεται μόνο για x≥0, είναι γνησίως αύξουσα.
- Υπερβολή (f(x)=1/x): Έχει δύο κλάδους, ορίζεται για x≠0, είναι περιττή.
Περιοδικές συναρτήσεις
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις:
- ημx και συνx έχουν περίοδο 2π και τιμές στο [-1, 1]
- εφx έχει περίοδο π και ασύμπτωτες στα σημεία όπου συνx = 0
- ημx και συνx είναι άρτιες/περιττές: ημ(-x) = -ημx, συν(-x) = συνx
Ερώτηση 6
Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις:
α) f(x) = αˣ , εκθετική β) f(x) = logₐx, λογαριθμική
α) f(x) = αˣ , εκθετική β) f(x) = logₐx, λογαριθμική
▶ Εμφάνιση απάντησης
Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση
f(x) = αˣ (α>1) και f(x) = αˣ (0<α<1)
f(x) = logₐx (α>1) και f(x) = logₐx (0<α<1)
Ιδιότητες εκθετικής και λογαριθμικής:
- Η εκθετική f(x)=αˣ ορίζεται για όλα τα x∈ℝ, ενώ η λογαριθμική f(x)=logₐx ορίζεται μόνο για x>0
- Για α>1: και οι δύο είναι γνησίως αύξουσες
- Για 0<α<1: και οι δύο είναι γνησίως φθίνουσες
- Η εκθετική και η λογαριθμική είναι αντίστροφες συναρτήσεις μεταξύ τους
Οι συναρτήσεις αˣ και logₐx είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x
Ερώτηση 7
Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες;
▶ Εμφάνιση απάντησης
Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν:
- Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α, και
- Για κάθε x ∈ A ισχύει f(x) = g(x)
Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουμε f = g.
Σχόλιο: Έστω f, g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντιστοίχως και Γ ένα υποσύνολο των Α και Β. Αν για κάθε x ∈ Γ ισχύει f(x) = g(x), τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες στο σύνολο Γ.
Παράδειγμα: Οι συναρτήσεις f(x)=x και g(x)=√(x²) ΔΕΝ είναι ίσες, γιατί έχουν διαφορετικά πεδία ορισμού. Η f ορίζεται για όλα τα x∈ℝ, ενώ η g ορίζεται μόνο για x≥0. Ωστόσο, είναι ίσες στο σύνολο Γ = [0, +∞).
Σχήμα 22: Ισότητα συναρτήσεων σε υποσύνολο
Έξω από το Γ οι συναρτήσεις διαφέρουν
Ερώτηση 8
Πώς ορίζονται οι πράξεις δύο συναρτήσεων;
▶ Εμφάνιση απάντησης
Πράξεις συναρτήσεων:
- (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- (f - g)(x) = f(x) - g(x)
- (f·g)(x) = f(x)·g(x)
- (f/g)(x) = f(x)/g(x), με g(x) ≠ 0
Πεδία ορισμού: Το πεδίο ορισμού των f+g, f-g, f·g είναι A ∩ B (τομή των πεδίων ορισμού). Για το f/g εξαιρούνται επιπλέον τα x για τα οποία g(x) = 0.
Ερώτηση 9
Τι λέμε σύνθεση της συνάρτησης f με τη συνάρτηση g;
▶ Εμφάνιση απάντησης
Σύνθεση συναρτήσεων:
Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με g∘f, τη συνάρτηση με τύπο:
(g∘f)(x) = g(f(x))
Σχόλια:
- Το πεδίο ορισμού της g∘f αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού της f για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο:
A₁ = {x ∈ A | f(x) ∈ B}
Είναι φανερό ότι η g∘f ορίζεται, αν f(A) ∩ B ≠ ∅, δηλαδή αν υπάρχει τουλάχιστον ένα x ∈ A τέτοιο ώστε f(x) ∈ B. - Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι g∘f και f∘g, τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες (η σύνθεση δεν είναι αντιμεταθετική).
- Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h∘(g∘f), τότε ορίζεται και η (h∘g)∘f και ισχύει:
h∘(g∘f) = (h∘g)∘f
Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των f, g και h και τη συμβολίζουμε με h∘g∘f. Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις.
Πρακτική ερμηνεία: Για να υπολογίσουμε την (g∘f)(x), πρώτα εφαρμόζουμε την f στο x και μετά εφαρμόζουμε την g στο αποτέλεσμα f(x).
Παράδειγμα μη αντιμεταθετικότητας: Έστω f(x)=x+1 και g(x)=x². Τότε:
- (g∘f)(x) = g(f(x)) = g(x+1) = (x+1)² = x² + 2x + 1
- (f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = x² + 1
Παράδειγμα προσεταιριστικής ιδιότητας: Έστω f(x)=x+1, g(x)=2x, h(x)=x². Τότε:
- h∘(g∘f)(x) = h(g(f(x))) = h(g(x+1)) = h(2(x+1)) = h(2x+2) = (2x+2)² = 4x² + 8x + 4
- (h∘g)∘f(x) = (h∘g)(f(x)) = (h∘g)(x+1) = h(g(x+1)) = h(2(x+1)) = (2x+2)² = 4x² + 8x + 4
Ερώτηση 10
Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα;
▶ Εμφάνιση απάντησης
Γνησίως αύξουσα στο Δ: Όταν για οποιαδήποτε x₁, x₂ ∈ Δ με x₁ < x₂ ισχύει: f(x₁) < f(x₂)
Γνησίως φθίνουσα στο Δ: Όταν για οποιαδήποτε x₁, x₂ ∈ Δ με x₁ < x₂ ισχύει: f(x₁) > f(x₂)
Πρακτική ερμηνεία:
- Γνησίως αύξουσα: Καθώς το x αυξάνεται, το f(x) αυξάνεται επίσης
- Γνησίως φθίνουσα: Καθώς το x αυξάνεται, το f(x) μειώνεται
- Μια συνάρτηση μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα σε κάποιο διάστημα και γνησίως φθίνουσα σε άλλο
Ερώτηση 11
Πότε μια συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό μέγιστο/ελάχιστο στο x₀;
▶ Εμφάνιση απάντησης
Ολικό μέγιστο στο x₀: Όταν f(x) ≤ f(x₀) για κάθε x ∈ A
Ολικό ελάχιστο στο x₀: Όταν f(x) ≥ f(x₀) για κάθε x ∈ A
Διαφορά ολικού και τοπικού ακροτάτου:
- Ολικό μέγιστο: Η μεγαλύτερη τιμή της f σε ΟΛΟ το πεδίο ορισμού
- Τοπικό μέγιστο: Η μεγαλύτερη τιμή της f σε μια γειτονιά του x₀ (όχι απαραίτητα σε όλο το πεδίο ορισμού)
- Κάθε ολικό ακρότατο είναι και τοπικό, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει
Ερώτηση 12
Πότε μια συνάρτηση f: A → ℝ λέγεται 1-1;
▶ Εμφάνιση απάντησης
Μια συνάρτηση f: A → ℝ λέγεται συνάρτηση "ένα προς ένα" (1-1), όταν για οποιαδήποτε x₁, x₂ ∈ A ισχύει:
Αν x₁ ≠ x₂, τότε f(x₁) ≠ f(x₂)
Σχόλια:
- Μια συνάρτηση f είναι συνάρτηση 1-1, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε x₁, x₂ ∈ A ισχύει η συνεπαγωγή:
Αν f(x₁) = f(x₂), τότε x₁ = x₂
Είναι φανερό από τον ορισμό της συνάρτησης ότι ισχύει η ισοδυναμία:
(x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)) ⇔ (f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂) - Από τον ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν:
- Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x) = y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x.
- Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο (Οριζόντια Δοκιμή).
Οριζόντια Δοκιμή (Horizontal Line Test)
Σχ. 33α: Συνάρτηση 1-1
Κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση σε το πολύ 1 σημείο
Κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση σε το πολύ 1 σημείο
Σχ. 33β: Συνάρτηση όχι 1-1
Υπάρχουν οριζόντιες ευθείες που τέμνουν σε 2 ή περισσότερα σημεία
Υπάρχουν οριζόντιες ευθείες που τέμνουν σε 2 ή περισσότερα σημεία
Οριζόντια Δοκιμή (Horizontal Line Test): Μια συνάρτηση είναι 1-1 αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική της παράσταση το πολύ σε ένα σημείο. Αυτή είναι η γεωμετρική μέθοδος για να ελέγξουμε αν μια συνάρτηση είναι 1-1.
Σχέση με τη μονοτονία:
- Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη (αύξουσα ή φθίνουσα), τότε είναι 1-1
- Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει γενικά: Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1-1 αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες
- Μια 1-1 συνάρτηση μπορεί να είναι αύξουσα σε κάποια διαστήματα και φθίνουσα σε άλλα, αρκεί να μην υπάρχουν οριζόντιες ευθείες που να τέμνουν τη γραφική της παράσταση σε περισσότερα από ένα σημεία
Σχήμα 34: 1-1 συνάρτηση που δεν είναι γνησίως μονότονη
Τύπος της συνάρτησης στο Σχήμα 34:
\[
g(x) =
\begin{cases}
x, & x \leq 0 \\
\frac{1}{x}, & x > 0
\end{cases}
\]
Η συνάρτηση \( g(x) \) είναι 1-1 (κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει σε 1 σημείο) αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη λόγω του κενού στο πεδίο ορισμού
Παραδείγματα:
- 1-1 και γνησίως μονότονη: \( f(x) = 2x + 3 \) (γνησίως αύξουσα), \( f(x) = e^x \) (γνησίως αύξουσα)
- 1-1 αλλά όχι γνησίως μονότονη: \( f(x) = \frac{1}{x} \) (για \( x \neq 0 \)) - είναι φθίνουσα στο \((-∞,0)\) και \((0,+∞)\) χωριστά, αλλά όχι σε όλο το πεδίο ορισμού
- Όχι 1-1:
- \( f(x) = x^2 \) - για \( y=4 \), η εξίσωση \( x^2=4 \) έχει δύο λύσεις: \( x=2 \) και \( x=-2 \)
- \( f(x) = |x| \) - για \( y=2 \), η εξίσωση \( |x|=2 \) έχει δύο λύσεις: \( x=2 \) και \( x=-2 \)
- \( f(x) = \sin(x) \) - για \( y=0 \), η εξίσωση \( \sin(x)=0 \) έχει άπειρες λύσεις: \( x = k\pi, k∈ℤ \)
Ερώτηση 13
Πότε μια συνάρτηση f αντιστρέφεται και πώς ορίζεται η αντίστροφή της;
▶ Εμφάνιση απάντησης
Μια συνάρτηση f αντιστρέφεται αν και μόνο αν είναι 1-1.
Η αντίστροφη συνάρτηση f⁻¹ ορίζεται από την ισοδυναμία:
y = f(x) ⇔ x = f⁻¹(y)
Σημαντικές ιδιότητες:
- f(f⁻¹(y)) = y για κάθε y ∈ f(A)
- f⁻¹(f(x)) = x για κάθε x ∈ A
- Πεδίο ορισμού της f⁻¹ = Σύνολο τιμών της f
- Σύνολο τιμών της f⁻¹ = Πεδίο ορισμού της f
- Για να βρούμε τον τύπο της f⁻¹, λύνουμε την εξίσωση y = f(x) ως προς x και έπειτα αντικαθιστούμε το y με x
Συμμετρία ως προς την ευθεία y = x
Οι γραφικές παραστάσεις \( C_f \) και \( C_{f^{-1}} \) είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία \( y = x \)
Πρακτικό παράδειγμα: Έστω \( f(x) = 2x + 3 \). Η f είναι 1-1 (γραμμική, άρα γνησίως μονότονη). Για να βρούμε την αντίστροφή της:
- Θέτουμε \( y = 2x + 3 \)
- Λύνουμε ως προς \( x \): \( 2x = y - 3 \Rightarrow x = \frac{y - 3}{2} \)
- Αντικαθιστούμε y με x: \( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} \)