📚 Ερωτήσεις Ανάπτυξης — Συνέχεια Συναρτήσεων
Μαθηματικά Προσανατολισμού • Γ' Λυκείου
Ερώτηση 1
Πότε μια συνάρτηση $f$ λέγεται συνεχής στο σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της;
Μια συνάρτηση $f$ λέγεται συνεχής στο σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της, όταν:
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$
Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια συνάρτηση $f$ δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της όταν:
i) Δεν υπάρχει το όριό της στο $x_0$ ή
ii) Υπάρχει το όριό της στο $x_0$, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, $f(x_0)$, στο σημείο $x_0$.
i) Δεν υπάρχει το όριό της στο $x_0$ ή
ii) Υπάρχει το όριό της στο $x_0$, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, $f(x_0)$, στο σημείο $x_0$.
Σχόλια:
α) Μία συνάρτηση $f$ που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται συνεχής συνάρτηση.
β) Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση $P$ είναι συνεχής, αφού για κάθε $x_0 \in \mathbb{R}$ ισχύει: $$\lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0)$$
γ) Κάθε ρητή συνάρτηση $\rho(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ είναι συνεχής, αφού για κάθε $x_0$ του πεδίου ορισμού της ισχύει: $$\lim_{x \to x_0} \rho(x) = \rho(x_0) = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}$$
δ) Οι συναρτήσεις $\text{ημ}\,x$ και $\text{συν}\,x$ είναι συνεχείς, αφού για κάθε $x_0 \in \mathbb{R}$ ισχύει: $$\lim_{x \to x_0} \text{ημ}\,x = \text{ημ}\,x_0 \quad \text{και} \quad \lim_{x \to x_0} \text{συν}\,x = \text{συν}\,x_0$$
ε) Οι συναρτήσεις $\alpha^x$ και $\log_\alpha x$, $\alpha > 0$ και $\alpha \neq 1$, είναι συνεχείς.
α) Μία συνάρτηση $f$ που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται συνεχής συνάρτηση.
β) Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση $P$ είναι συνεχής, αφού για κάθε $x_0 \in \mathbb{R}$ ισχύει: $$\lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0)$$
γ) Κάθε ρητή συνάρτηση $\rho(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ είναι συνεχής, αφού για κάθε $x_0$ του πεδίου ορισμού της ισχύει: $$\lim_{x \to x_0} \rho(x) = \rho(x_0) = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}$$
δ) Οι συναρτήσεις $\text{ημ}\,x$ και $\text{συν}\,x$ είναι συνεχείς, αφού για κάθε $x_0 \in \mathbb{R}$ ισχύει: $$\lim_{x \to x_0} \text{ημ}\,x = \text{ημ}\,x_0 \quad \text{και} \quad \lim_{x \to x_0} \text{συν}\,x = \text{συν}\,x_0$$
ε) Οι συναρτήσεις $\alpha^x$ και $\log_\alpha x$, $\alpha > 0$ και $\alpha \neq 1$, είναι συνεχείς.
Συνέχεια συνάρτησης σε σημείο $x_0$
Ασυνέχεια τύπου "άλματος"
Ασυνέχεια τύπου "τρύπας"
Ερώτηση 2
Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων.
Για τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων ισχύει το παρακάτω θεώρημα:
Θεώρημα: Αν οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι συνεχείς στο $x_0$, τότε είναι συνεχείς στο $x_0$ και οι συναρτήσεις:
• $f + g$
• $f - g$
• $c \cdot f$, όπου $c \in \mathbb{R}$
• $f \cdot g$
• $\frac{f}{g}$
• $\sqrt[n]{f}$ (εφόσον $n$ περιττός ή $f(x_0) \geq 0$ για $n$ άρτιος)
με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το $x_0$.
• $f + g$
• $f - g$
• $c \cdot f$, όπου $c \in \mathbb{R}$
• $f \cdot g$
• $\frac{f}{g}$
• $\sqrt[n]{f}$ (εφόσον $n$ περιττός ή $f(x_0) \geq 0$ για $n$ άρτιος)
με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το $x_0$.
Σημείωση: Αυτό το θεώρημα εξασφαλίζει ότι οι πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων δίνουν συνεχείς συναρτήσεις (όταν ορίζονται κατάλληλα). Για παράδειγμα, το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο συνεχών συναρτήσεων είναι επίσης συνεχείς συναρτήσεις.
Ερώτηση 3
Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης.
Για τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης ισχύει το παρακάτω θεώρημα:
Θεώρημα: Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $x_0$ και η συνάρτηση $g$ είναι συνεχής στο $f(x_0)$, τότε η σύνθεσή τους $g \circ f$ είναι συνεχής στο $x_0$.
$$\lim_{x \to x_0} g(f(x)) = g\left(\lim_{x \to x_0} f(x)\right) = g(f(x_0))$$
Σύνθεση συνεχών συναρτήσεων δίνει συνεχή συνάρτηση
Ερμηνεία: Δηλαδή, για να είναι συνεχής μια σύνθετη συνάρτηση $g(f(x))$ στο $x_0$, αρκεί η $f$ να είναι συνεχής στο $x_0$ και η $g$ να είναι συνεχής στο $f(x_0)$. Αυτό μας επιτρέπει να "διασπώμε" τη μελέτη της συνέχειας σύνθετων συναρτήσεων σε απλούστερες συνιστώσες.
Ερώτηση 4
Πότε μια συνάρτηση $f$ λέγεται συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα $(α, β)$ και πότε στο κλειστό διάστημα $[α, β]$;
Συνεχής σε ανοικτό διάστημα:
Μια συνάρτηση $f$ λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα $(α, β)$, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του $(α, β)$.
Μια συνάρτηση $f$ λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα $(α, β)$, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του $(α, β)$.
Συνεχής σε κλειστό διάστημα:
Μια συνάρτηση $f$ θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $[α, β]$, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του $(α, β)$ και επιπλέον: $$\lim_{x \to α^+} f(x) = f(α) \quad \text{και} \quad \lim_{x \to β^-} f(x) = f(β)$$
Μια συνάρτηση $f$ θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $[α, β]$, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του $(α, β)$ και επιπλέον: $$\lim_{x \to α^+} f(x) = f(α) \quad \text{και} \quad \lim_{x \to β^-} f(x) = f(β)$$
Συνάρτηση συνεχής σε ανοικτό διάστημα $(α, β)$
Συνάρτηση συνεχής σε κλειστό διάστημα $[α, β]$
Σχόλιο: Ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής $[α, β)$, $(α, β]$, $[α, +\infty)$, $(-\infty, β]$, κ.λπ.
Ερώτηση 5
Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία.
Θεώρημα Bolzano:
Έστω μια συνάρτηση $f$, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $[α, β]$. Αν:
1. Η $f$ είναι συνεχής στο $[α, β]$ και
2. $f(α) \cdot f(β) < 0$ (δηλαδή $f(α)$ και $f(β)$ ετερόσημοι)
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, $x_0 \in (α, β)$ τέτοιο, ώστε $f(x_0) = 0$.
Έστω μια συνάρτηση $f$, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $[α, β]$. Αν:
1. Η $f$ είναι συνεχής στο $[α, β]$ και
2. $f(α) \cdot f(β) < 0$ (δηλαδή $f(α)$ και $f(β)$ ετερόσημοι)
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, $x_0 \in (α, β)$ τέτοιο, ώστε $f(x_0) = 0$.
Δηλαδή, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης $f(x) = 0$ στο ανοικτό διάστημα $(α, β)$.
Γεωμετρική ερμηνεία:
Αν $f$ είναι συνεχής συνάρτηση στο $[α, β]$ και τα σημεία $Α(α, f(α))$ και $Β(β, f(β))$ βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα $x'x$, τότε η $C_f$ τέμνει τον άξονα $x'x$ σε ένα τουλάχιστον σημείο $Μ(x_0, 0)$, με τετμημένη $x_0 \in (α, β)$.
Αν $f$ είναι συνεχής συνάρτηση στο $[α, β]$ και τα σημεία $Α(α, f(α))$ και $Β(β, f(β))$ βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα $x'x$, τότε η $C_f$ τέμνει τον άξονα $x'x$ σε ένα τουλάχιστον σημείο $Μ(x_0, 0)$, με τετμημένη $x_0 \in (α, β)$.
$f(α) < 0$, $f(β) > 0$ ⇒ ∃ $x_0$: $f(x_0)=0$
Σχόλια:
• Διατήρηση προσήμου: Αν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής σε ένα διάστημα $Δ$ και δε μηδενίζεται σ' αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε $x \in Δ$ ή είναι αρνητική για κάθε $x \in Δ$, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα $Δ$.
• Χωρισμός διαστημάτων: Μια συνεχής συνάρτηση $f$ διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της $f$ χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.
• Διατήρηση προσήμου: Αν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής σε ένα διάστημα $Δ$ και δε μηδενίζεται σ' αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε $x \in Δ$ ή είναι αρνητική για κάθε $x \in Δ$, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα $Δ$.
• Χωρισμός διαστημάτων: Μια συνεχής συνάρτηση $f$ διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της $f$ χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.
Ερώτηση 6
Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.
Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών:
Έστω μια συνάρτηση $f$, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $[α, β]$. Αν:
1. Η $f$ είναι συνεχής στο $[α, β]$ και
2. $f(α) \neq f(β)$
τότε, για κάθε αριθμό $η$ μεταξύ των $f(α)$ και $f(β)$ υπάρχει ένας, τουλάχιστον $x_0 \in (α, β)$ τέτοιος ώστε $f(x_0) = η$.
Έστω μια συνάρτηση $f$, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $[α, β]$. Αν:
1. Η $f$ είναι συνεχής στο $[α, β]$ και
2. $f(α) \neq f(β)$
τότε, για κάθε αριθμό $η$ μεταξύ των $f(α)$ και $f(β)$ υπάρχει ένας, τουλάχιστον $x_0 \in (α, β)$ τέτοιος ώστε $f(x_0) = η$.
Απόδειξη:
Χωρίς βλάβη της γενικότητας, ας υποθέσουμε ότι $f(α) < f(β)$. Τότε θα ισχύει $f(α) < η < f(β)$.
Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x) = f(x) - η$, $x \in [α, β]$. Παρατηρούμε ότι:
• Η $g$ είναι συνεχής στο $[α, β]$ (ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων)
• $g(α) = f(α) - η < 0$ και $g(β) = f(β) - η > 0$
Επομένως, $g(α) \cdot g(β) < 0$.
Σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει $x_0 \in (α, β)$ τέτοιο ώστε $g(x_0) = 0$, δηλαδή $f(x_0) - η = 0$, άρα $f(x_0) = η$.
∎
Χωρίς βλάβη της γενικότητας, ας υποθέσουμε ότι $f(α) < f(β)$. Τότε θα ισχύει $f(α) < η < f(β)$.
Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x) = f(x) - η$, $x \in [α, β]$. Παρατηρούμε ότι:
• Η $g$ είναι συνεχής στο $[α, β]$ (ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων)
• $g(α) = f(α) - η < 0$ και $g(β) = f(β) - η > 0$
Επομένως, $g(α) \cdot g(β) < 0$.
Σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει $x_0 \in (α, β)$ τέτοιο ώστε $g(x_0) = 0$, δηλαδή $f(x_0) - η = 0$, άρα $f(x_0) = η$.
∎
Γεωμετρική ερμηνεία:
Αν $f$ είναι συνεχής συνάρτηση στο $[α, β]$ και τα σημεία $Α(α, f(α))$ και $Β(β, f(β))$ βρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας $y = η$, τότε η $C_f$ τέμνει την ευθεία $y = η$ σε ένα τουλάχιστον σημείο $Μ(x_0, η)$, με τετμημένη $x_0 \in (α, β)$.
Αν $f$ είναι συνεχής συνάρτηση στο $[α, β]$ και τα σημεία $Α(α, f(α))$ και $Β(β, f(β))$ βρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας $y = η$, τότε η $C_f$ τέμνει την ευθεία $y = η$ σε ένα τουλάχιστον σημείο $Μ(x_0, η)$, με τετμημένη $x_0 \in (α, β)$.
Γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Ενδιάμεσων Τιμών
Σχόλια:
α) Αν μια συνάρτηση $f$ δεν είναι συνεχής στο διάστημα $[α, β]$, τότε δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές.
β) Η εικόνα $f(Δ)$ ενός διαστήματος $Δ$ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης $f$ είναι διάστημα.
γ) Αν μια συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα $(α, β)$, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα $(Α, Β)$, όπου: $$A = \lim_{x \to α^+} f(x) \quad \text{και} \quad B = \lim_{x \to β^-} f(x)$$
δ) Αν, όμως, η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο $(α, β)$, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα $(B, Α)$.
α) Αν μια συνάρτηση $f$ δεν είναι συνεχής στο διάστημα $[α, β]$, τότε δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές.
β) Η εικόνα $f(Δ)$ ενός διαστήματος $Δ$ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης $f$ είναι διάστημα.
γ) Αν μια συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα $(α, β)$, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα $(Α, Β)$, όπου: $$A = \lim_{x \to α^+} f(x) \quad \text{και} \quad B = \lim_{x \to β^-} f(x)$$
δ) Αν, όμως, η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο $(α, β)$, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα $(B, Α)$.
Ερώτηση 7
Να διατυπώσετε το θεώρημα μέγιστης - ελάχιστης τιμής.
Θεώρημα Μέγιστης - Ελάχιστης Τιμής:
Αν $f$ είναι συνεχής συνάρτηση στο $[α, β]$, τότε η $f$ παίρνει στο $[α, β]$ μια μέγιστη τιμή $Μ$ και μια ελάχιστη τιμή $m$.
Δηλαδή, υπάρχουν $x_1, x_2 \in [α, β]$ τέτοια ώστε, αν $m = f(x_1)$ και $Μ = f(x_2)$, να ισχύει: $$m \leq f(x) \leq Μ \quad \text{για κάθε } x \in [α, β]$$
Αν $f$ είναι συνεχής συνάρτηση στο $[α, β]$, τότε η $f$ παίρνει στο $[α, β]$ μια μέγιστη τιμή $Μ$ και μια ελάχιστη τιμή $m$.
Δηλαδή, υπάρχουν $x_1, x_2 \in [α, β]$ τέτοια ώστε, αν $m = f(x_1)$ και $Μ = f(x_2)$, να ισχύει: $$m \leq f(x) \leq Μ \quad \text{για κάθε } x \in [α, β]$$
Σχόλιο:
Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης $f$ με πεδίο ορισμού το $[α, β]$ είναι το κλειστό διάστημα $[m, Μ]$, όπου $m$ η ελάχιστη τιμή και $Μ$ η μέγιστη τιμή της.
Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης $f$ με πεδίο ορισμού το $[α, β]$ είναι το κλειστό διάστημα $[m, Μ]$, όπου $m$ η ελάχιστη τιμή και $Μ$ η μέγιστη τιμή της.
Προσοχή:
Το θεώρημα ισχύει μόνο για συνεχείς συναρτήσεις σε κλειστά διαστήματα. Σε ανοικτά διαστήματα, μια συνεχής συνάρτηση μπορεί να μην έχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή.
Το θεώρημα ισχύει μόνο για συνεχείς συναρτήσεις σε κλειστά διαστήματα. Σε ανοικτά διαστήματα, μια συνεχής συνάρτηση μπορεί να μην έχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή.